Delirium ha scritto:Un esercizietto: per \(p \in (0,1)\) e \(\theta \in [0,\pi/2]\) mostrare che vale \[ \cos(\theta)^p \le \cos(p \theta).\]
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Per monotonia del logaritmo, la tesi equivale a
$p \log(cos\theta) \leq \log(\cos p\theta)$.
Per concavità del coseno su $[0, \pi/2]$, vale
$$\cos(p\theta) = \cos(p\theta + (1-p)*0) \geq p\cos(\theta) + (1-p).$$
Passando al logaritmo e sfruttandone la concavità,
$$\log(\cos(p\theta)) \geq \log (p\cos(\theta) + (1-p)*1) \geq p\log(\cos(\theta)) + (1-p)\log(1) = p\log(\cos(\theta)).$$