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Io ho trovato (non è mia) questa dimostrazione, non so se è la dimostrazione originale.
Notazione:
Dato un insieme finito \(K\) di punti nel piano di cardinalità \( \left| K \right| \) abbiamo che \( (k_1,\ldots,k_j)\) denota la seguente affermazione:
\( \left| K \right| = k_1 + \ldots + k_j \) e l'inviluppo convesso di \(K\), denotato \( \operatorname{conv} K \), è un poligono a \(k_1\) vertici, e quando i vertici di \( \operatorname{conv} K \) sono tolti da \(K\), l'inviluppo convesso dei punti rimanenti è un poligono a \(k_2\) vertici, e così via.
Lemma: Se un insieme planare \(K\) è \( (3,3,2) \), \( (4,3,1) \) oppure \((3,4,2)\), allora \(K\) determina un pentagono convesso.
(La dimostrazione del Lemma la aggiungo quando avrò più tempo)
Denotiamo con \(r(5) \) il numero cercato di punti
Teorema: \( r(5)=9\)
Dato un insieme di \(9\) punti in posizione generale che non determina un pentagono convesso, allora ha una delle seguenti forme \( (4,4,1), (4,3,2),(3,4,2) \) oppure \( (3,3,3)\). Nei primi due casi abbiamo un sottoinsieme di \(8\) punti che è \( (4,3,1)\) e negli ultimi due casi abbiamo un sottoinsieme di punti che è \((3,3,2)\), il lemma precedente si applica e abbiamo dimostrato che \(r(5) \leq 9 \).
Per l'altra direzione è sufficiente trovare un esempio di insieme con \(8\) punti che non possiede un pentagono convesso, ad esempio i vertici di un quadrato dentro i vertici di un altro quadrato centrati nello stesso punto.
Con un metodo analogo si può dimostrare che \( r(6) = 17 \), che oltre a \( r(3)=3\) e appunto \(r(4)=5 \) e \( r(5)=9 \) sono gli unici numeri conosciuti di questo problema.
Notazione:
Dato un insieme finito \(K\) di punti nel piano di cardinalità \( \left| K \right| \) abbiamo che \( (k_1,\ldots,k_j)\) denota la seguente affermazione:
\( \left| K \right| = k_1 + \ldots + k_j \) e l'inviluppo convesso di \(K\), denotato \( \operatorname{conv} K \), è un poligono a \(k_1\) vertici, e quando i vertici di \( \operatorname{conv} K \) sono tolti da \(K\), l'inviluppo convesso dei punti rimanenti è un poligono a \(k_2\) vertici, e così via.
Lemma: Se un insieme planare \(K\) è \( (3,3,2) \), \( (4,3,1) \) oppure \((3,4,2)\), allora \(K\) determina un pentagono convesso.
(La dimostrazione del Lemma la aggiungo quando avrò più tempo)
Denotiamo con \(r(5) \) il numero cercato di punti
Teorema: \( r(5)=9\)
Dato un insieme di \(9\) punti in posizione generale che non determina un pentagono convesso, allora ha una delle seguenti forme \( (4,4,1), (4,3,2),(3,4,2) \) oppure \( (3,3,3)\). Nei primi due casi abbiamo un sottoinsieme di \(8\) punti che è \( (4,3,1)\) e negli ultimi due casi abbiamo un sottoinsieme di punti che è \((3,3,2)\), il lemma precedente si applica e abbiamo dimostrato che \(r(5) \leq 9 \).
Per l'altra direzione è sufficiente trovare un esempio di insieme con \(8\) punti che non possiede un pentagono convesso, ad esempio i vertici di un quadrato dentro i vertici di un altro quadrato centrati nello stesso punto.
Con un metodo analogo si può dimostrare che \( r(6) = 17 \), che oltre a \( r(3)=3\) e appunto \(r(4)=5 \) e \( r(5)=9 \) sono gli unici numeri conosciuti di questo problema.
