Punti distanti da lati e vertici di un esagono regolare.

[j18eos]

Considerato un esagono regolare nel piano, e sia \(\displaystyle P\) il generico punto di tale piano.

• Sia \(\displaystyle l(P)\) la somma della distanze di \(\displaystyle P\) dai lati dell'esagono¹. Quali sono i punti \(\displaystyle P\) che minimizzano \(\displaystyle l(P)\)?
• Sia \(\displaystyle v(P)\) la somma della distanze di \(\displaystyle P\) dai vertici dell'esagono. Quali sono i punti \(\displaystyle P\) che minimizzano \(\displaystyle v(P)\)?

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Note

1. Per distanza di \(\displaystyle P\) da un lato dell'esagono dato, intendo la distanza di \(\displaystyle P\) dalla retta passante per i vertici del lato considerato. ↑

[anto_zoolander]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

sempre l'origine?

Prendiamo

$E={w inCC| w^6=1_CC}$

si ottiene $E={Q_k=(cos((kpi)/3),sin((kpi)/3)) inCC:k=0,...,5}$

Preso $P=(x,y) inCC$ la distanza somma delle distanze da $P$ sarà

$sum_(k=1)^(6)d(P,Q_k)=sum_(k=1)^(6)sqrt(x^2+y^2-2xcos(kpi/3)-2ysin(kpi/3))$

è chiaro che $sum_(k=1)^(6)d((0,0),Q_k)=0$ e $sum_(k=1)^(6)d(P,Q_k)geq0$

[giammaria]

Consideriamo la somma delle distanze da due lati opposti: è uguale alla distanza fra questi lati se $P$ è nella fascia fra loro compresa; ne è maggiore se $P$ è all'esterno. Questo vale per tutte le coppie di lati quindi la risposta alla prima domanda è: $l(P)$ è minima per tutti i punti interni all'esagono, perimetro compreso.
Per la seconda domanda debbo pensarci.

[Erasmus_First]

[...] la somma della distanze di \$P$ dai lati dell'esagono[...]

Che si intente per "distanza di un punto $P$ da un lato" (di un poligono)? La distanza di $P$ dalla retta per i due vertici consecutivi estremi di quel lato oppure la distanza di $P$ dai punto più vicino tra quelli appartenenti al segmento di estremi due vertici consecutivi?
_______

[giammaria]

Ho pensato alla seconda domanda, e la risposta è davvero il centro dell'esagono.
Siano A, D due vertici opposti; dal triangolo PAD deduciamo
$PA+PD>=AD$
valendo l'uguale solo se P sta sul segmento AD, diametro della circonferenza circoscritta. Lo stesso vale per tutte le coppie di vertici, quindi si ha il minimo se P sta sui tre diametri, cioè al centro.

[veciorik]

Se la distanza di P da un lato è la distanza dal punto più vicino a P, il luogo dei punti che minimizzano $l(P)$ è un esagono concentrico di lato $ 1/\sqrt(3)$

[giammaria]

@ Erasmus_First
In wikipedia trovo la seguente definizione: "In geometria, con riferimento ai poligoni regolari, l'apotema ... corrisponde alla distanza fissa tra l'incentro e ciascuno dei lati" ed è evidente che per "distanza" si intende il segmento di perpendicolare. Direi proprio che questo vale anche qui.

@ veciorik
E' la risposta data anche da me, a parte il fatto che io dico che è l'esagono dato, mentre tu dici che è quello concentrico di lato $1/sqrt3$. Tu come motivi la tua risposta?

[veciorik]

@giammaria
la motivazione è come la tua con la differenza che interseco tre fasci di segmenti, non di rette, perché assumo una diversa definizione della distanza.
Ho usato questa definizione https://it.wikipedia.org/wiki/Distanza_di_un_punto_da_un_insieme che equivale a quest'altra https://www.mat.uniroma2.it/LMM/prodot/Visione/Demo/Euclide/Dis/Dis.HTM.

Se consideriamo la distanza dai punti medi dei lati, il problema equivale a minimizzare la distanza dai vertici di un esagono più piccolo.

[giammaria]

Capisco cosa intendi dire, anche se credo che quella definizione vada usata solo nel caso indicato dal tuo secondo link (la distanza è molto maggiore del segmento stesso).
E' comunque impossibile che nella risposta non ci sia alcun riferimento alle dimensioni dell'esagono: cambiandone il lato, deve certo cambiare anche la dimensione del luogo cercato, che invece tu indichi solo con un numero (in che unità di misura? Forse intendevi che l'unità di misura fosse il lato, ma non l'hai scritto).
Inoltre scrivi che "Se consideriamo la distanza dai punti medi dei lati, il problema equivale a minimizzare la distanza dai vertici di un esagono più piccolo". Ma la somma delle distanze da questi vertici è minima nel centro dell'esagono (come ho dimostrato ieri alle 21:37), quindi il minimo non si ha nell'intero esagono piccolo.
Ed infine, la mia dimostrazione si riferiva alla mia definizione di distanza e non si adatta ad una definizione diversa: non capisco come tu possa dire che la tua dimostrazione è come la mia. Devi aver fatto un ragionamento diverso, ma quale?

EDIT, qualche ora dopo.
Mi scuso, ma la mia mente funziona a scoppio ritardato e solo ora capisco bene e posso rispondere a molte mie domande.
Effettivamente con la definizione adottata da veciorik il minimo si verifica non nell'intero esagono ABCDEF ma in uno più piccolo, avente per vertici le intersezioni fra le coppie di diagonali AE,BD con AC,DF e con BF,CE; il lato di questo esagono è davvero $1/sqrt3$ se l'unità di misura è il lato dell'esagono iniziale.
Quanto alla dimostrazione, si può darla in modo simile alla mia della seconda domanda e non della prima.

[veciorik]

.. credo che quella definizione vada usata solo nel caso indicato dal tuo secondo link (la distanza è molto maggiore del segmento stesso). ¹
.. intendevi che l'unità di misura fosse il lato .. ²
.. la somma delle distanze da questi vertici è minima nel centro dell'esagono (come ho dimostrato ieri .. ³
.. con la definizione adottata da veciorik il minimo si verifica non nell'intero esagono ABCDEF ma in uno più piccolo, avente per vertici le intersezioni fra le coppie di diagonali AE,BD con AC,DF e con BF,CE; il lato di questo esagono è davvero $1/sqrt3$ se l'unità di misura è il lato dell'esagono iniziale. ⁴

Volevo integrare le tue risposte e anticipare la risposta del OP al dubbio di Erasmus_First, considerando tre definizioni alternative di distanza da un lato:

1. dal punto medio
2. dalla retta che lo estende (tua risposta)
3. dal punto più vicino (mia opzione preferita)

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Note

1. IMHO è la definizione migliore, vedi "05 - Distanza fra due sottoinsiemi." in arrigoamadori TopologiaMetrica ↑
2. l'ho omesso per pigrizia, mi sembrava ovvio ↑
3. ritenevo sconveniente riportare la tua risposta che ritenevo conclusiva ↑
4. OK; indeciso tra "esagono al centro della stella di David inscritta" e "ruotato di 30°", mi sono scordato di precisarlo ↑