Area $<=1/16$

[giammaria]

Un problema di molti anni fa me ne aveva suggerito un altro, che non so risolvere; è anche possibile che non ci sia una soluzione breve, ma ne vorrei conferma. Prima di esporre il mio problema mi sembra giusto proporre quello originale; è abbastanza facile, quindi suggerisco che i supersolutori tacciano per due o tre giorni, lasciando il campo libero ai meno esperti.

All'interno di un quadrato di lato $1$ ci sono 7 punti. Dimostrare che fra tutti i triangoli ottenibili congiungendo tre punti, scelti fra questi ed i 4 vertici, ce n'è almeno uno con area $<=1/16$.

[axpgn]

Mi è venuta quest'idea ...

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Mettendo il primo punto suddivido il quadrato in quattro triangoli; ogni punto successivo si troverà all'interno di un triangolo e lo suddividerà in tre triangoli aggiungendone due al computo totale.
Al settimo punto avremo generato $16$ triangoli e quindi ...

Cordialmente, Alex

[giammaria]

Era stata anche la ma soluzione, ma avevo suggerito che i supersolutori tacessero. Dato che una risposta c'è stata, pongo ora il quesito che non so risolvere, mettendolo però in spoiler in modo da non dare suggerimenti a chi vuole ancora cimentarsi col primo.

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E' certo possibile disporre i punti in modo che i 16 triangoli abbiano tutti area $1/16$ e quindi nessuno ne scenda al di sotto. In totale però il numero dei triangoli è $C_(11,3)=165$: è anche possibile disporre i punti in modo che nessuna area valga meno di $1/16$? Se sì, come?

[axpgn]

Io sarei un supersolutore? ... Li hai contati i miei interventi in questa sezione in confronto ai tuoi, a quelli di veciorik o Erasmus (giusto per dire i primi che mi vengono in mente ...) ?

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Se non l'avessi scritto quando mi è venuto in mente mi sarei autodefinito "supersolutore" ma non è quello che penso ...

Cordialmente, Alex

[giammaria]

No, non ho contato i tuoi interventi, ma so che sono buoni e numerosi; noto che hai al tuo attivo 10955 messaggi, contro i miei 4817. Naturalmente parlando di supersolutori mi riferivo ai partecipanti di questa sezione e non ai grandi della matematica; non mi pronuncio sulle altre persone che citi, ma so benissimo che io non sono uno di quei grandi.

[axpgn]

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Se non contiamo i triangoli degeneri una disposizione l'avrei trovata (credo ...) ...
Un punto in $(1/8,7/8)$ e il suo simmetrico, un punto in $(1/6,1/6)$ e il suo simmetrico, un punto in $(5/16,11/16)$ e il suo simmetrico e il settimo punto al centro.

Se ho capito bene tu vorresti che tutti i $165$ triangoli siano uguali a $1/16$, corretto?
Pensi sia possibile?

Cordialmente, Alex

[spugna]

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Se non contiamo i triangoli degeneri una disposizione l'avrei trovata (credo ...) ...
Un punto in $(1/8,7/8)$ e il suo simmetrico, un punto in $(1/6,1/6)$ e il suo simmetrico, un punto in $(5/16,11/16)$ e il suo simmetrico e il settimo punto al centro.

Se ho capito bene tu vorresti che tutti i $165$ triangoli siano uguali a $1/16$, corretto?
Pensi sia possibile?

Cordialmente, Alex

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Sbaglio o il triangolo $(0,0),(1/6,1/6),(5/16,11/16)$ ha area $1/32$? Però mi hai dato un'idea: mettere tutti i punti su una diagonale dividendola in 8 parti uguali.

[giammaria]

I triangoli degeneri vanno considerati e non devono essercene, dato che hanno area inferiore ad $1/16$: la mia principale difficoltà è proprio quella.

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Non so se il mio problema è possibile o no; tendo per il no dati i miei numerosi infruttuosi tentativi, ma allora questo andrebbe dimostrato.
Sicuramente non tutte le aree valgono $1/16$: ad esempio, vale $3/16$ quella di un triangolo suddiviso in tre triangoli con quell'area. Credo che tutte le aree debbano essere multiple di $1/16$, ma non ci ho pensato molto.

[axpgn]

Sì, certo, me ne sono accorto quando ormai ero già partito ... ... peraltro è pure sbagliata come giustamente notato da spugna ...

[spugna]

Forse ce l'ho:

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Il primo punto divide il quadrato in quattro triangoli, due dei quali hanno area non superiore a $1/4$: se uno di essi contenesse altri due punti, lo si potrebbe suddividere in 5 triangoli, ottenendo così un'area $<=1/20$, quindi entrambi possono contenerne al più uno; inoltre, per ciascuno di questi due triangoli possiamo dire che:

-se non contiene altri punti, è uno dei 16 triangoli "finali", quindi deve avere area $1/16$;
-se contiene un altro punto, è costituito da 3 dei 16 triangoli finali, quindi deve avere area $3/16$ e il punto al suo interno deve essere il suo baricentro.

Ora, se i due triangoli avessero la stessa area, il primo punto apparterrebbe a una diagonale del quadrato, dando vita così a un triangolo degenere, perciò le due aree sono $1/16$ e $3/16$, e il primo punto dista $1/8$ e $3/8$ dai rispettivi lati del quadrato. A questo punto però possiamo ripetere il procedimento per un'altra suddivisione in 16 triangoli, in particolare una che inizia da un altro punto, quindi tutti i 7 punti devono trovarsi a distanze $1/8$ e $3/8$ da due lati: in totale ci sono 8 punti interni al quadrato con questa proprietà, e a meno di simmetrie c'è un solo modo di sceglierne 7, ma si vede facilmente che tale configurazione non soddisfa la richiesta: ad esempio si possono prendere due punti che distano $1/8$ da uno stesso lato e un estremo di quest'ultimo, e viene un triangolo di area $1/64$.