Polinomi indiscriminanti

[dan95]

Trovare tutti i polinomi $p(x) \in \mathbb{C}[x]$ tali che per ogni $n \in \mathbb{N}$ risulta $p(x^n)=(p(x))^n$.

[dan95]

Pubblico la soluzione?

[anto_zoolander]

Un hint.

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Io pensavo di ragionare che su $CC[x]$ un polinomio $P(x)$ di grado $m$ lo possiamo considerare con $alpha_1,...,alpha_m$ radici

$P(x)=prod_(i=1)^(n)(x-alpha_i)$

$prod_(i=1)^(m)(x^n-alpha_i)=[prod_(i=1)^(m)(x-alpha_i)]^n=prod_(i=1)^(m)(x-alpha_i)^n$

Se ho interpretato bene la cosa ovviamente

Ora ogni polinomio $(x^n-alpha_i)$ in $CC$ ammette $n$ radici ovvero

$(x^n-alpha_i)=prod_(t_i=1)^(n)(x-beta_(t_i))$

$prod_(t=1)^(m)(x^n-alpha_i)=prod_(t=1)^(m)prod_(t_i=1)^(n)(x-beta_(t_i))$

pertanto dovrà essere

$prod_(i=1)^(m)(x-alpha_i)^n=prod_(t=1)^(m)prod_(t_i=1)^(n)(x-beta_(t_i))$

solo che dopo questo mi blocco.

[gugo82]

Ad occhio, direi $p(z):= 0$ oppure $p(z):=z^k$ con $k>=1$...

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Tanto per dire, se $p(z)$ contiene $m>=2$ addendi, $p(x^n)$ contiene esattamente $m$ addendi mentre, non appena $n>=2$, $(p(x))^n$ ne contiene di più; dunque, $p(z)$ ha un unico addendo, cioè $p(z) = a z^k$ con $a in CC$.
Ora, abbiamo $(p(x))^n = (a x^k)^n = a^n x^(kn)$ e $p(x^n) = ax^(nk)$, quindi l'uguaglianza vale solo se $a^n =a$ ossia $a=0$ oppure $a=1$.

[dan95]

@anto

Hint:

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Quante radici distinte ci sono nel primo membro e quante nel secondo?

Soluzione:

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Arrivato a quel punto il membro di destra ha $m$ radici distinte ognuna molteplicità $n$, l'altro ha $n \cdot (m-1)+1$ radici distinte se ha anche $0$ come radice oppure $n \cdot m$, tuttavia devono avere lo stesso numero di radici distinte, quindi per ogni $n$ naturale deve risultare che $m=nm$ che è verificato se e solo o $m=0$ cioè il polinomio è costante oppure $m=n(m-1)+1$ verificato per $m=1$ cioè il polinomio ha una sola radice che per ipotesi è $0$.

@gugo

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Sì andrebbe dimostrato che i coefficienti di $(p(x))^n$ di grado minore di $n$ sono non nulli, in generale.