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giammariaNon credo che ci siano metodi sostanzialmente diversi da quello impiegato da
giammaria (cioè che facciano a meno del principio di identità) per risolvere il secondo esercizio.
Non ho fatto i calcoli. Tuttavia ...
• Per A, B, C, D, E, F, G ed H costanti opportune deve essere (per ogni $x$) :
$(Ax^3 + Bx^2 + Cx + D)(x+1)^4 – (Ex^3 + Fx^2 + Gx + H)(x–1)^4 = -64$
[*]• Supposte note queste 8 costanti, deve essere (per ogni $x$):
$2p(x) = (Ax^3 + Bx^2 + Cx + D)(x+1)^4 + (Ex^3 + Fx^2 + Gx + H)(x-1)^4$
[**]In particolare, per $x=2$:
$2p(2)$ = 81(8A + 4B + 2C + D) + 8E + 4F + 2G + H
[***]• Le 8 costanti si trovano facilmente dalla
[*] risolvendo un sistema lineare di 8 incognite ottenuto mettendo successivamente nella
[*] al posto di x una costante (diversa dalle precedenti).
Dividendo per $x^7$ e facendo poi tendere $x$ a +∞ (o a –∞) si trova subito che deve essere A = E.
Per semplicità possiamo poi scrivere la
[*] per $x$ = –3, –2, –1, 0, 1, 2 e 3.
Otteniamo dunque il sistema (determinato) seguente:
Per x tendente a ∞: E = A;
Per x = –3: 16(–27A + 9B – 3C + D) – 256(–27E + 9F – 3G + H) = – 64;
Per x = – 2: –8A + 4B – 2C + D – 81(–8E + 4F – 2G + H) = – 64;
Per x = – 1: 16(–E + F – G + H) = –64;
Per x = 0: D – H = –64;
Per x = 1: 16(A + B + C + D) = –64;
Per x = 2: 81(8A + 4B + 2C + D) – (8E + 4F + 2G + H) = –64;
Per x = 3: 256(27A + 9B + 3C + D) – 16(27E + 9F + 3G + H) = –64.
Naturalmente ... io non ho voglia di risolvere questo sistema e mi fido dei calcoli fatti da
giammaria.
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P.S. (editando)
Ho corretto l'equazione per x = 0 (che era mooolto sbagliuata
)