Due problemi

[axpgn]

Thank you

... è una strada che non avrei mai trovato ...

[Sascia63]

Comunque a chi interessasse ho trovato una discussione su un altro forum del secondo problema.Metto qui di seguito il link:
http://olimpiadi.ing.unipi.it/viewtopic ... 5ef2ec5789

[giammaria]

Per il primo problema, io ho solo trovato che lil valore massimo di $n$ non supera quello da voi indicato, ma potrebbe anche essergli inferiore. Voi come avete ragionato?

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Ho studiato le due curve
1) $y=x^(7x)->y'=7x^(7x)(lnx+1)$
2) $y=x^n+1-x->y'=nx^(n-1)-1$
trovando che entrambe passano per $(0,1)$ (o vi si avvicinano indefinitamente) e per $(1,1)$; entrambe hanno un minimo nell'intervallo dato.
Guardando il valore delle derivate, noto che in un intorno destro di 0 la curva 2 è sopra alla 1 per ogni $n$; in un intorno sinistro di 1 gli è al di sopra se la sua derivata (calcolata in $x=1$)è minore o uguale all'altra, cioè se
$n-1<=7->n<=8$
Il valore massimo sarebbe quindi $n=8$; non c'è però nessuna garanzia che la curva 2 sia sopra alla 1 anche fuori da quegli intorni.

[axpgn]

Beh, basta vedere il grafico (i grafici) ...

[Erasmus_First]

@ giammaria

Non credo che ci siano metodi sostanzialmente diversi da quello impiegato da giammaria (cioè che facciano a meno del principio di identità) per risolvere il secondo esercizio.
Non ho fatto i calcoli. Tuttavia ...
• Per A, B, C, D, E, F, G ed H costanti opportune deve essere (per ogni $x$) :
$(Ax^3 + Bx^2 + Cx + D)(x+1)^4 – (Ex^3 + Fx^2 + Gx + H)(x–1)^4 = -64$ [*]
• Supposte note queste 8 costanti, deve essere (per ogni $x$):
$2p(x) = (Ax^3 + Bx^2 + Cx + D)(x+1)^4 + (Ex^3 + Fx^2 + Gx + H)(x-1)^4$ [**]
In particolare, per $x=2$:
$2p(2)$ = 81(8A + 4B + 2C + D) + 8E + 4F + 2G + H [***]
• Le 8 costanti si trovano facilmente dalla [*] risolvendo un sistema lineare di 8 incognite ottenuto mettendo successivamente nella [*] al posto di x una costante (diversa dalle precedenti).
Dividendo per $x^7$ e facendo poi tendere $x$ a +∞ (o a –∞) si trova subito che deve essere A = E.
Per semplicità possiamo poi scrivere la [*] per $x$ = –3, –2, –1, 0, 1, 2 e 3.
Otteniamo dunque il sistema (determinato) seguente:
Per x tendente a ∞: E = A;
Per x = –3: 16(–27A + 9B – 3C + D) – 256(–27E + 9F – 3G + H) = – 64;
Per x = – 2: –8A + 4B – 2C + D – 81(–8E + 4F – 2G + H) = – 64;
Per x = – 1: 16(–E + F – G + H) = –64;
Per x = 0: D – H = –64;
Per x = 1: 16(A + B + C + D) = –64;
Per x = 2: 81(8A + 4B + 2C + D) – (8E + 4F + 2G + H) = –64;
Per x = 3: 256(27A + 9B + 3C + D) – 16(27E + 9F + 3G + H) = –64.

Naturalmente ... io non ho voglia di risolvere questo sistema e mi fido dei calcoli fatti da giammaria.
_______


–––
P.S. (editando)
Ho corretto l'equazione per x = 0 (che era mooolto sbagliuata )

[Sascia63]

Grazie mille sei stato chiarissimo .

[dan95]

Provo che la disuguaglianza del primo esercizio non vale in generale per $n \geq 9$

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Non è difficile provare che

\begin{equation}
x^{7x}>x^7
\end{equation}

per ogni $0<x<1$.

Basta mostrare che la disuguaglianza per $n=9$ non è vera su tutto $(0,1)$. Dalla (3) segue che

\begin{equation}
x^{7x}-x^9+x-1 > x^7-x^9+x-1=(x^7+x^8-1)(1-x)
\end{equation}

Poiché $x^7+x^8-1$ cambia segno sulla frontiera dell'intervallo per il Teorema dell'esistenza degli zeri esiste $\xi \in (0,1)$ tale che $\xi^7+\xi^8-1=0$, ovvero dalla (4)

$$\xi^{7\xi}-\xi^9+\xi-1 > 0$$

[giammaria]

Provo che la disuguaglianza del primo esercizio non vale in generale per $n \geq 9$

Mi sembra inutile, dato nella mia ultima mail avevo già dimostrato che vale solo per $n<=8$. Però la tua dimostrazione ha il pregio di non utilizzare le derivate (ma usa il teorema di esistenza degli zeri).

@Erasmus_First
Mi piace il modo con cui, nel secondo esercizio, hai evitato l'uso esplicito del principio di identità dei polinomi (ma direi che c'è un uso implicito). Resta il fatto che nessuno ha voglia di risolvere un sistema di 8 equazioni, e la mia soluzione cercava proprio il modo di evitarlo, trasformandolo in due sistemi di 4 equazioni ciascuna. Ancora meglio la soluzione linkata da Sascia83, in cui c'è un solo sistema di 4 equazioni.

[axpgn]

Sì, ma ... tutto bello, tutto ok, ma qualcuno sa in quanto tempo andavano risolti?
Non mi sembra un dettaglio ...

[dan95]

@Giammaria
Sì lo so che eri giunto alla stessa conclusione, infatti io volevo pubblicare tutta la soluzione dell'esercizio ma poi mi sono accorto che nella seconda parte qualcosa non andava e allora ho scritto solo la prima parte.

@alex

Non lo so, ma probabilmente di gran lunga meno di quanto ci stiamo mettendo...