Due problemi

[axpgn]

... gran lunga meno di quanto ci stiamo mettendo...

E quindi, secondo voi, questo potrebbe voler dire che c'è un'altra strada, più "veloce"?

[Sascia63]

Può darsi visto che è una gara in cui ci sono una ventina di problemi da risolvere in circa 2 ore.

[orsoulx]

Per il secondo il sistema può essere evitato a patto di conoscere nozioni fondamentali di derivate/integrali di polinomi in R.
La derivata del polinomio cercato ha una radice tripla tanto in $ x=-1 $ quanto in $ x=1 $ ed allora, essendo di sesto grado, avremo $ p'(x) = \lambda(x^2-1)^3 $ che, con i valori simmetrici $ p(-1)=32, p(1)=-32 $, fornisce $p(x)=10x^7-42x^5+70x^3-70; p(2)=356$.

ma qualcuno sa in quanto tempo andavano risolti?

Se ho ben capito è una gara a squadre. Quando i miei pargoli vi partecipavano (prima del 2007) il tempo concesso era 120', che moltiplicato per i 7 componenti della squadra...
In quel contesto il metodo che hai proposto non era applicabile; concessi solo: carta, matita, cervello e fortuna.

Ciao

[axpgn]

In quel contesto il metodo che hai proposto non era applicabile; concessi solo: carta, matita, cervello e fortuna.

Vabbè, scherzavo ...

Ma erano studenti delle superiori? Io non ho mai fatto "algebra di polinomi" o di "funzioni" o quello che è, nè ne ho mai avuto occasione però non faccio neppure testo ma mi piacerebbe sapere "dove/quando" si studia, in quale "categoria" di Matematica si "inserisce" ... sfogliando libri di Algebra Astratta o Matematica Discreta non mi pare di averne trovato traccia ...

Cordialmente, Alex

[axpgn]

Quando i miei pargoli vi partecipavano (prima del 2007) il tempo concesso era 120', che moltiplicato per i 7 componenti della squadra...

A squadre funziona così? Cioè ciascuno si prende un pezzo e va da solo? In pratica è una somma di individualità non un gioco di squadra?

Ciao,

[orsoulx]

@Alex,
in un liceo scientifico, specialmente se con informatica, la proprietà che più radici di un polinomio coincidenti comportano l'annullarsi delle derivate successive in quel punto viene (/veniva) esaminata da diversi punti di vista.
Il regolamento delle gare a squadre lasciava ampia libertà nelle strategie di approccio ad un problema. Il risultato di un singolo quesito (sempre un numero di quattro cifre) poteva essere consegnato (dal postino: uno dei componenti della squadra) in qualsiasi istante e senza alcuna giustificazione. Immediatamente veniva corretto e, sul tabellone, il punteggio veniva aggiornato con variazioni positive o negative a seconda della sua esattezza.
Ciao

[Erasmus_First]

[...] @Erasmus_First
Mi piace il modo con cui, nel secondo esercizio, hai evitato l'uso esplicito del principio di identità [...]

Non ho inteso "evitarlo"!
Vedi che ho esordito dicendo che, secondo me, "sostanzialmente" non ci sono metodi di risolvere quel problenma che facciano a meno del principio di identità.
In un primo tempo (prima ancora di leggere la tua soluzione) anch'io avevo spaccato il sistema liuneare di 8 equazioni in 8 incognite in due sistemi di 4 equazioni in 4 incognite separando la parte pari dalla parte dispari sia dei polinomi di terzo grado – quelli che tu chiami $s(x)$ e $g(x)$– sia della quarta potenza di (x+1) e di (x-1) ponendo
$X_p(x) = ((x+1)^4 + (x–1)^4)/2 = x^4 + 6x^3 + 1$ ∧ $X_d(x) = ((x+1)^4 - (x–1)^4)/2 =4x^3 + 4x$.
Allora, posto
$(p(x) – 2)/(x+1)^4 = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D$ ∧ $(p(x) + 2)/(x-1)^4 = Ex^3 + Fx^2 + Gx + H$,
essendo nulla la parte dispari di –64 si perviene alle due uguaglianze (indipendenti una dall'altra):
$[(A–E)x^3 + (C–G)x]·(x^4 + 6x^2+1) +[(B+F)x^2+D+H]·(4x^3 + 4x) = 0$; [Parte dispari nulla]
$[(B-F)x^2+D–H]·(x^4 + 6x^2+1) +[(A+E)x^3+(C+G)x]·(4x^3+4x)=–64$. [Parte pari=-64].
Posto ancora
$α = A–E$; $β = C – G$; $γ = B+F$; $δ = D+H$; [*]
$ε = B – F$; $ζ= D –H$; $η = A+E$; $θ = C+G$; [**]
sviluppando i prodotti delle due precedenti uguaglianze (che ho chiamato "Parte dispari" e "Parte pari"), l'applicazione successiva del principio di identità conduce
• dalla uguaglianza "Parte dispari" ad un sistema omogeneo si 4 equazioni nelle incognite α, β, γ e δ risolto da
$α=β = γ = δ = 0$;
• dalla uguaglianza "Parte pari" ad un sistema non omogeneo si 4 equazioni nelle incognite ε, ζ, η e θ , cioè:
$ε+4η=0$; (annullando il coefficiente di $x^5$)
$6ε+ζ+4η + 4θ=o0$; (essendo nullo il coefficiente di $x^4$)
$ε+6ζ+4θ=0$; (essendo nullo il coefficiente di $x^2$)
$ζ= -64$. (essendo –64 il termine di grado 0).
Risolvendo anche questo sistema e mettendo in conto le posizioni [*] e [**] , ecc. ecc.
[In questo procedimento non c'è bisogno di valurtare i membri delle uguaglianze in particolari punti].

Ma poi ho pensato che era meglio (dal punto di vista didattico) mostrare nel modo più diretto possibile come si può fare per determinare effettivamente $p(2)$ (e perciò ho scartato quanto ho mostrato adesso perché ciò, invece, sposta l'attenzione del lettore su cosa si può fare per spaccare il sistema delle 8 equazioni in 8 incognite in due sistemi ciascuno di 4 equazioni in 4 incognite.

Ciao giammaria!
_________

[Erasmus_First]

A occhio (cioè dal grafico ) la soluzione è ...

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$n=8$

E dove sta 'sto grafico?

Beh, basta vedere il grafico (i grafici) ...

A mo'! (= "ancora! ").
Faccelo vedere 'sto grafico!
––––––––––––
Siccome $x^x$ – e quindi $x^(7x)$ – è definito solo per $x$ positivo (dove è pure posiivo), vale 1 in $x=1$, tende ad 1 per $x$ tendente a 0 ed è minore di 1 per $0 < x < 1$, per vedere cosa succede tra 0 e 1 ho fatto disegnare il rapporto
$x^(7x)/(x^n - x + 1)$
al mio programma "Grapher" per $n$ = 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
Si nota che per $n ≤ 8$ il rapporto è minore di 1 per 0 < $x$ < 1; ma al crescere di $n$ il grafico – come dire? – si "sganghera" sempre più in prossimità di 1 fino ad avere un lembo al di sopra di 1 per $n=9$. Quindi la risposta al secondo quesito è come ha detto Alex. .
Io non sono "spilorcio" come lui (Alex)! Ed i grafici che spiegano tutto ve li faccio vedere!
Teli chì!

––> Sei grafici.png

_________

[giammaria]

@ Erasmus_First
Sì, adesso le nostre soluzioni sono sostanzialmente uguali. Sull'aspetto didattico ha qualche riserva: è vero che così facendo si sposta l'attenzione sullo spezzamento del sistema, ma è vero anche che un sistema di 8 equazioni dà i brividi.

[axpgn]

Data la gentile richiesta ...

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Grafico




Dettaglio $n=8$

Cordialmente, Alex