Tetraedro irregolare

[giammaria]

Dire con quale procedimento si può calcolare il volume di un tetraedro irregolare, conoscendo i suoi 6 spigoli.

Siamo nella parte del sito dedicato alla superiori, quindi sono esclusi gli argomenti universitari, fra cui analitica e trigonometria tridimensionali. Ribadisco che non sono richiesti i calcoli, ma solo il procedimento, esposto in modo un po' dettagliato.
Ho preso spunto da questo problema; consiglio di far riferimento alla sua figura.

[Sascia63]

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Non sto riportando la dimostrazione in quanto ci sto ancora lavorando ma conoscendo gli spigoli esiste già il determinante di Cayley-Menger:
http://mathworld.wolfram.com/Cayley-Men ... inant.html

[giammaria]

Avevo escluso gli argomento universitari e direi che il tuo inizio di soluzione non rientra nel programma delle superiori.

[Erasmus_First]

[...] Siamo nella parte del sito dedicato alla superiori, quindi sono esclusi gli argomenti universitari, fra cui analitica e trigonometria tridimensionali. Ribadisco che non sono richiesti i calcoli, ma solo il procedimento, esposto in modo un po' dettagliato.
Ho preso spunto da questo problema; consiglio di far riferimento alla sua figura.

@ giammaria

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Ho messo quel problemna in "pensare un po' di più" perché anche per trovare solamente il volume occorre avere qualche informazione con cui ricavare il seno di un angolo diedro. Se no come si può trovare la distanza di un vertice dal piano della faccia opposta?
Credo che non si possa!
Certo: ricavare il coseno di un angolo diedro tramite i coseni degli angoli piani delle tre facce di un triedero del quale l'angolo diedro in questione è uno dei tre angoli diedri del triedro è abbastanza facile (e serve l'uso della sola trigonometria piana). Ma questo risultato è appunto il "1° teorema del coseno" della Trigonometria sferica. Quel mio post voleva essere un po' polemico! Denunciare cioè quella che secondo me è una lacuna: l'assenza di un minimo di trigonometria sferica (che reputo facile e molto formativa) sia nelle cosiddette "superiori" che nel biennio di "scienze" e persino nel primo biennio di Matematica – sempre secondo i miei ricordi, che però sono ormai di 55 - 60 anni fa.
A|llora: perché tu non hai risposto a quel mio quiz?
Ciao ciao.
Erasmus

_________

[giammaria]

Si può rispondere alla mia domanda usando, di tridimensionale, solo la formula per il volume di una piramide ed il teorema delle tre perpendicolari: argomenti che vengono fatti nelle superiori. O almeno, che dovrebbero essere fatti: nelle superiori italiane, la geometria solida spesso è la Cenerentola della matematica.
Non ho risposto al tuo quiz per molti motivi: uno è che non l'avevo visto, non avendo l'abitudine di leggere quella parte di forum, ed un altro è che ho pensato che certo c'erano soluzioni universitarie e quindi migliori della mia (all'università non ho studiato geometria solida). Inoltre ne ho poi trovato una soluzione che richiedeva la conoscenza del volume; il mio attuale quiz chiede appunto quello. Preciso che in questo momento non ricordo quale fosse la soluzione di cui ho appena parlato.

[axpgn]

Forse una soluzione ce l'avrei ... forse

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Il volume lo calcolo come per le piramidi: area di base per altezza diviso tre (giusto? mi pare ... )
L'area di base la trovo con Erone.
Per l'altezza, prima trove le tre altezze relative alle facce ed il punto dove cadono sui lati di base, usando tre sistemi da due equazioni usando Pitagora.
Dal piede dell'altezza del tetraedro partono tre segmenti verso i tre vertici di base e tre verso i piedi delle tre altezze, formando sei triangoli rettangoli; sei incognite e un sistema di sei equazioni, trovato uno dei segmenti, si calcola l'altezza con Pitagora.
Isn't it?

Cordialmente, Alex

[giammaria]

@ axpgn
Forse è giusto, ma ...

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Parli di sistemi, ma per i primi non mi è chiaro cosa metti a sistema; in quella parte, io non ho usato sistemi. Per il sistema finale, ho l'impressione che alcune equazioni siano combinazioni lineari delle altre; inoltre sarebbe meglio evitare un sistema di sei equazioni.

[axpgn]

Ho "condensato" il più possibile data la "non voglia" di scrivere in questo periodo ...

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Con i "primi" sistemi volevo dire questo: per esempio, prendi il triangolo $ABD$ e traccia l'altezza $DH_c$, allora avrai ${(d^2=(DH_c)^2+(AH_c)^2),(e^2=(DH_c)^2+(c-AH_c)^2):}$ che si risolve in un attimo.
Non saprei se qualcuna delle sei equazioni dipende dalle altre, ma penso di no ma concordo sul fatto che siano tante

Nel thread originale di Erasmus si chiedeva di calcolare il raggio della sfera circoscritta; io l'ho fatto ma in un altro thread (che non ricordo) perché richiesto da Erasmus (che non ha ancora confermato se il mio risultato è corretto o meno).
Per calcolarlo ho trovato le coordinate dei quattro vertici: due immediati, il terzo quasi (intersecando due circonferenze), il quarto intersecando tre sfere, ed infine intersecando quattro sfere di raggio incognito ma uguale per tutte.
Tranne l'ultimo passaggio, questa procedura mi permette di trovare l'altezza della piramide ... però qualcosa mi dice che non ti vada bene ...

Cordialmente, Alex

[giammaria]

@axpgn

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Sono d'accordo per i primi sistemi. Io avevo ragionato così: con Erone calcolo l'area S di ABD e ne deduco $DH_c=(2S)/c$; $AH_c$ è poi calcolato con Pitagora.

Per l'ultimo sistema, dovrei sapere esattamente quali sono le tue equazioni; mi pare che tu ragioni sul piano di base ed allora, detto P il piede dell'altezza del tetraedro, direi che le uniche che riguardano il vertice A sono
$bar(AH_c)^2+bar(PH_c)^2=bar(AP)^2" "$ e $" "bar(AH_b)^2+bar(PH_b)^2=bar(AP)^2$
Da una di esse ricavo l'incognita $bar(AP)$ e la sostituisco nell'altra; indicando con $x,y$ le due incognite rimanenti ($x=bar(PH_c);y=bar(PH_b)$), ho l'equazione
$bar(AH_c)^2+x^2=bar(AH_b)^2+y^2$
scrivibile come $x^2-y^2=a_1$, essendo $a_1$ un numero noto.
Per gli altri vertici ottengo equazioni dello stesso tipo. Osservando i primi membri, noto che quello della terza equazione è combinazione lineare degli altri due, e questo basta per dire che il sistema è indeterminato o impossibile. La geometria del problema dice però che con dati ragionevoli c'è una ed una sola soluzione; se ne conclude che il nostro sistema è indeterminato e che per la soluzione ci manca un'equazione.

[axpgn]

@giammaria

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Se lo dici tu, mi fido; non ho voglia di fare conti ...
È che volendo usare solo i lati e niente angoli, c'è sempre un incognita di troppo

Però, forse ... se il piede dell'altezza della piramide coincide con l'incentro della base allora forse ho risolto; dai dati che ho posso trovare le coordinate dell'incentro e con queste (e il resto) l'altezza ... che ne dici?

EDIT:

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Che ne pensi della "procedura" con cui ho trovato il raggio della "sfera di Erasmus" ?

Cordialmente, Alex