Gioco con un rettangolo m x n

[Raff_321]

Ho il seguente problema:
Alice e Bob fanno un gioco molto divertente. Da un foglio di carta quadrettata ritagliano
un rettangolo m ×n, dopodiché a turno ( iniziando da Alice ) ognuno di loro deve taglia-
re il rettangolo in due rettangoli ( il taglio deve essere orizzontale o verticale, e rispettare
i quadretti ), scartarne uno e passare l’altro al giocatore successivo. Chi riceve il rettan-
golo 1x1 perde. Chi vince, e come? Come cambia il gioco se sono costretti a scartare il
rettangolo più piccolo?
Io ho pensato di dividere il problema in casi, e ho notato prima che se uno lascia ad un altro il rettangolo 2x2 allora lo fa automaticamente perdere. Poi supponendo che cominci Alice:
-Nel caso ci sia una riga (o una colonna) del tipo ad esempio m x 1, allora se m è pari vince Alice, se m è dispari vince Bob
-Nel caso ci siano due righe (o due colonne) del tipo ad esempio m x 2, Alice può sempre lasciare il rettangolo 2 x 2 a bob, che perde.
-Nel caso in cui m e n siano uguali (e dispari) allora Alice lascia una riga a Bob e vince; se invece sono uguali (e pari), Alice non lascia a Bob una o due righe altrimenti perde, ma neanche n righe dispari, altrimenti Bob lascerebbe una sola colonna dispari e così vincerebbe. Allora Alice taglia sicuramente un numero di righe pari (ad esempio, partendo da 6x6, lascerà un rettangolo 6x4. Bob a questo punto non lascia né una riga né due righe, e non fa in modo da lasciare ad Alice la possibilità di lasciargli un rettangolo 2x2. L'unica possibilità è allora tagliare "appena sotto" la riga dove Alice ha tagliato prima. Ma anche in questo caso Alice gli lascia una colonna con tre quadrettini e Bob perde.
In rete ho trovato che si deve partire, per risolvere il problema, dal caso m=n che mi sembra questo che ho appena detto, ma non so generalizzare il risultato e ho paura di aver sbagliato tutto. Come posso andare avanti?

[axpgn]

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Chi si ritrova fra le mani un quadrato perde, perciò chi inizia può sempre vincere, a meno che la forma iniziale sia già un quadrato.

Cordialmente, Alex