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Lemma: Per ogni \(\displaystyle x \in \mathbb{Z}\) si ha \(\displaystyle x^3 \in \{-1,0,1\} \mod 9\). Inoltre \(\displaystyle x^3 \equiv 0 \mod 9 \) se e solo se \(\displaystyle 3 \mid x \).
(per dimostrarlo è sufficiente scorrersi le nove classi di resto e verificare).
Siano ora \(\displaystyle a,b,c \in \mathbb{Z}\) tali che \(\displaystyle a^3 +b^3 = c^3\). Vogliamo dimostrare che \(\displaystyle 3 \mid abc\).
DIstinguo due casi: \(\displaystyle 3 \mid ab \) e \(3 \nmid ab \).
1) \(\displaystyle 3 \mid ab \implies 3 \mid abc\), fine.
2) \(\displaystyle 3 \nmid ab \implies\) per il lemma si ha \( \displaystyle a^3 + b^3 \in \{ -2 , 0, 2 \} \mod 9\).
Dunque \( \displaystyle c^3 \in \{ -2 , 0, 2 \} \mod 9\), da cui, sempre per il lemma, si ha \(\displaystyle 3 \mid c \), da cui \(\displaystyle 3 \mid abc \), fine.