Prendiamo un intero $s$ e definiamo $t(s)$ come il numero degli elementi delle due successioni che siano minori di $s$.
Allora $t(s)=\lfloor s/a \rfloor + \lfloor s/b \rfloor$
Per definizione di parte intera, abbiamo $s/a-1<\lfloor s/a \rfloor <s/a$ e $s/b-1<\lfloor s/b \rfloor <s/b$.
Sommiamo membro a membro ed otteniamo $s/a+s/b-2 < t(s) < s/a+s/b$ da cui
$s(1/a+1/b)-2 < t(s) < s(1/a+1/b)$ e quindi $s-2<t(s)<s$ per cui si conclude che è $t(s)=s-1$.
Se i due insiemi (composti da interi) non fossero disgiunti, gli elementi dovrebbero essere meno …
E d'altra parte se non fosse $1/a+1/b=1$ non avremmo quella disuguaglianza … IMHO