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Posto per comodità $f(1)=a+1$ (con $a in NN$ ed $a>=0$), si ha
$f(2)=f(2*1)=f(1)+1=a+2$
$f(4)=f(2*2)=f(2)+2=a+4 " "$ eccetera, calcolando $f(8),f(16)...$
quindi per le potenze di $2$ vale la formula $f(n)=a+n$, facilmente verificabile per induzione completa.
Indicando ora con $n_k, n_(k+1)$ due successive potenze di $2$, noto che fra $a+n_k$ ed $a+n_(k+1)$ ci sono tanti posti quanti fra $n_k$ ed $n_(k+1)$; poiché la funzione è strettamente crescente deve quindi essere $f(n)=a+n$ anche per i valori di $n$ che non sono potenze di $2$.
Copio l'ultima parte: finora ho usato solo la prima ipotesi, ora uso la seconda
$2$ e $3$ sono numeri primi, quindi devono essere primi anche $a+2$ ed $a+3$; trattandosi di due numeri consecutivi, uno di essi è pari, e quindi può essere primo solo se vale $2$. E' facile escludere che sia $a+3=2$, quindi resta solo $a+2=2->a=0$.
$f(2)=f(2*1)=f(1)+1=a+2$
$f(4)=f(2*2)=f(2)+2=a+4 " "$ eccetera, calcolando $f(8),f(16)...$
quindi per le potenze di $2$ vale la formula $f(n)=a+n$, facilmente verificabile per induzione completa.
Indicando ora con $n_k, n_(k+1)$ due successive potenze di $2$, noto che fra $a+n_k$ ed $a+n_(k+1)$ ci sono tanti posti quanti fra $n_k$ ed $n_(k+1)$; poiché la funzione è strettamente crescente deve quindi essere $f(n)=a+n$ anche per i valori di $n$ che non sono potenze di $2$.
Copio l'ultima parte: finora ho usato solo la prima ipotesi, ora uso la seconda
$2$ e $3$ sono numeri primi, quindi devono essere primi anche $a+2$ ed $a+3$; trattandosi di due numeri consecutivi, uno di essi è pari, e quindi può essere primo solo se vale $2$. E' facile escludere che sia $a+3=2$, quindi resta solo $a+2=2->a=0$.
