La non divisibilità per $ 11 $ si può provare anche senza utilizzare il $ 105 $, esponente comune delle potenze. Basta dimostrare che $ 3^n + 4^m $ non è divisibile per $11 $ per qualsiasi coppia di valori, naturali e non necessariamente coincidenti, di $n$ ed $m$.
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Nell'aritmetica delle classi di resto modulo $ 11 $ le successive potenze di $ 3 $ sono
$ 3^1=3, 3^2=3 cdot 3=9, 3^3=9 cdot 3=5, 3^4=5 cdot 3=4, 3^5=4 cdot 3=1=3^0 $. Fra i valori trovati non compare $10=-1 $, questo è sufficiente per affermare $ 3^n+3^m $ non risulterà mai divisibile per $ 11 $. Compare, invece, $ 4 $ e quindi ogni potenza di $ 4 $ ( ed anche di $ 1, 5, 9 $) sarà anche potenza di $ 3 $. rendendo assurda la divisibilità per $11$ dell'espressione proposta
.
L'analogo ragionamento non è invece dirimente nel caso della divisibilità per $ 5 $, perché $ 3^2=4=-1 " " (mod 5) $.
Ciao
Stephen Wolfram non mi è simpatico, anche perché il malefico Wolfram|Alpha non mi permette di credere che $ e^\pi=(640320^3+744)^(1/\sqrt(163)) $.
"Sono venticinque secoli che la filosofia inquadra i problemi, ma non scatta mai la foto.” - Edoardo Boncinelli, L'infinito in breve.