Parte frazionaria di una radice

[jas123]

Buonasera, vorrei proporvi un problema che non riesco a risolvere:
chiamiamo $ {a} $ la parte frazionaria di $ a $ che si definisce come $ a-[a]={a} $ dove $ [a] $ è la parte intera di $ a $ cioè il minimo intero minore di $ a $ , allora dimostrare che esiste una terna $ x,y,z in Z t.c. x,y,z>n in N$per cui $ {sqrtx}+{sqrty}= 1+ {sqrtz} $ .

[axpgn]

Sinceramente, io non ho capito cosa devi dimostrare ...

Se seguo alla lettera la tua ipotesi, allora dati, per esempio, $x=11, y=13, z=15$, non ne consegue la tesi.

Meglio chiarire ...

[jas123]

Cerco di spiegarmi, il testo chiede di dimostrare che esistono tre interi $ x,y,z $ maggiori di un generico $ n in N $ per cui si ha che $ {sqrtx}+{sqrty}=1+{sqrtz} $ , cioè la somma delle parti frazionarie (la parte dopo la virgola per intenderci) di $ sqrtx $ e $ sqrty $ sia uguale a 1 + la parte frazionaria di $ sqrtz $.
La terna da te proposta non solo non soddisfa l'equazione ma non andrebbe comunque bene perché potrei scegliere $ n > 15 $.
Spero che adesso si capisca.

[axpgn]

Invece di "spiegarti", riporta il testo esatto del problema, parola per parola, che è meglio.
C'è un'enorme differenza tra "dati" tre numeri e "dimostrare che esistono" tre numeri ...

[jas123]

ho modificato il testo spero che adesso sia più chiaro, comunque riporto il testo originale parola per parola
se $ a $ è un numero reale, denotiamo con $ {a} $ la parte frazionaria di $ a $, ossia l'unico numero reale con $ 0 le a <1 $ tale che $ k+{a}=a $ per k intero.
Se $ n $ è un intero positivo, fate vedere che esistono dei numeri interi $ x,y,z $ tutti maggiori di $ n $ con $ {sqrtx}+{sqrty}= 1+ {sqrtz} $

[axpgn]

Qui non dice che i tre numeri debbano essere interi quindi qual è il testo giusto?

[jas123]

Correggo, c'è nel testo originale e non l'ho ricopiato

[3m0o]

Non è sicuramente il modo richiesto

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Ma è quantomeno curioso che prendendo un'altra convenzione allora ogni quadrato perfetto è soluzione del problema.
Infatti scegliendo la convenzione che se due numeri hanno due rappresentazioni decimali differenti, consideriamo quella che termina con infiniti \(9\) invece di infiniti \(0\), allora dati 3 quadrati perfetti \(x,y,z >n \) abbiamo che \( \sqrt{x},\sqrt{y} ,\sqrt{z} \in \mathbb{N} \) e grazie alla nostra convenzione abbiamo che
\[ \operatorname{mant}(\sqrt{x}) + \operatorname{mant}(\sqrt{y}) = 0.\bar{9} + \operatorname{mant}(\sqrt{z}) \]
Siccome \( \operatorname{mant}(\sqrt{x}) = 0.\bar{9} \), \( \operatorname{mant}(\sqrt{y}) = 0.\bar{9} \) e \( \operatorname{mant}(\sqrt{z}) = 0.\bar{9} \).

edit:

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Mentre invece con la convenzione usuale sicuramente tutti i quadrati perfetti non soddisfano la relazione richiesta. Infatti se \(x,y,z>n \) sono dei quadrati perfetti avresti
\[ \operatorname{mant}(\sqrt{x}) + \operatorname{mant}(\sqrt{y}) = 0 \neq 1=1+ \operatorname{mant}(\sqrt{z}) \]

[axpgn]

Scusa 3m0o ma mi pare che …

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la mantissa di un numero intero è zero non $0.\bar9$ …

[3m0o]

@axpgn

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Non con la convenzione scelta, ma magari sbaglio, infatti ho detto che se due numeri hanno due rappresentazioni decimali differenti scelgo quella con infiniti \(9 \) e non con infiniti \(0 \).
Ad esempio
\[ 1 = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{a_k}{10^k} \]
sia con \( a_0 = 1 \) e \(a_k = 0 \) per ogni \( k \geq 1\). Ma anche \( a_0=0 \) e \( a_k = 9 \) per ogni \(k \geq 1 \). Allo stesso modo ogni intero \(n \). Io ho scelto la convenzione di scegliere in questo caso la seconda rappresentazione di \(1 \) e quindi la sua mantissa \(0.\bar{9} \), inoltre la mantissa stessa è una funzione che dipende dalla scelta della rappresentazione poiché con la convenzione usuale abbiamo che \( \operatorname{Im}(\operatorname{mant}) = [0,1) \) mentre con l'altra convenzione \( \operatorname{Im}(\operatorname{mant}) = (0,1] \)

edit: Ad ogni modo il problema originale era chiaramente riferito alla convenzione usuale