Quante soluzioni?

[axpgn]

Se $n$ è un intero positivo, quante soluzioni reali ci sono, come funzione di $n$, nell'equazione $e^x=x^n$ ?


Cordialmente, Alex

[giammaria]

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Intervallo $x<=0$
L'esponenziale sale da 0 ad 1. Quanto alla potenza:
- se $n$ è dispari, sale da $-oo$ a $0$ e quindi non interseca l'esponenziale;
- se $n$ è pari, scende da $+oo$ a $0$ e quindi interseca l'esponenziale in un punto.
Perciò in questo intervallo c'è una soluzione se $n$ è pari; nessuna se è dispari.

Intervallo $x>0$
Prendendo i logaritmi, ho
$x=n ln x ->x/ln x=n$
e sono soluzioni le intersezioni fra la curva $y=x/ln x$ e la retta $y=n$.
Studiando la curva, trovo che scende da $0$ a $-oo$ nel tratto (0,1): non dà soluzioni perché $n$ è positivo. Poi scende da $+oo$ al minimo $(e,e)$ e risale fino a $+oo$. Interseca due volte la retta $y=n$ (intero) solo se $n>=3$ ed in questo caso ci sono due soluzioni, mentre non ce ne sono se $n<3$

[axpgn]

Bene!

Cordialmente, Alex