3m0o ha scritto:Testo nascosto, fai click qui per vederloPenso di aver trovato la soluzione adatta per le superiori, diciamo che il termine di destra in \(x\) è molto (troppo) vicino a due quadrati successivi per poter essere un quadrato
Comunque sia (hydro help? ) non riesco proprio a farlo con \( \mathbb{Z}[\zeta_5] \) e mi sto un po' innervosendo!
Voglio dire che deve esistere un unità e un elemento \( a + b \zeta_5 + c \zeta_5^2 + d \zeta_5^3 \in y^2 \mathbb{Z}[\zeta_5] \) tale che
\[ x- \zeta_5 = u ( a + b \zeta_5 + c \zeta_5^2 + d \zeta_5^3)^2 \]
\[ x- \zeta_5 = u ( (a^2+2cd) + \zeta_5(d^2+2ab) + \zeta_5^2 ( b^2 + 2ac) + \zeta_5^3(2ad+2bc) + \zeta_5^4 (c^2 +2bd) \]
usando poi \(\zeta_5^4 = -1-\zeta_5 - \zeta_5^2 - \zeta_5^3 \) e ponendo i "giusti" coefficienti uguale a \(0 \) o \(-1\) vorrei poi essere in grado di determinare \(x\). Ma non riesco a determinare l'unità.
E' vero il fatto seguente: le unità di $\mathbb Z[\zeta_p]$ si scrivono come $\zeta_p^ru$ per qualche $r\in \mathbb Z$ e \(u\in \mathbb Q[\zeta_p+\zeta_p^{-1}]\). Questo dovrebbe bastarti per concludere.