Equazione irrazionale

[axpgn]

Ad uno studente delle Superiori era stato richiesto di risolvere la seguente equazione:

$sqrt(3x-2)-sqrt(2x-3)=1$

La sua risposta è stata:
Elevo al quadrato entrambi i membri, ottengo $3x-2-2x-3=1$, quindi $x=6$

La soluzione, in effetti, è corretta.


Dimostrare che esistono infinite quaterne di numeri reali $a, b, c, d$ per le quali il metodo appena visto conduce alla corretta soluzione dell'equazione irrazionale $sqrt(ax-b)-sqrt(cx-d)=1$


Cordialmente, Alex

[giammaria]

Anche la conclusione di quello studente non è del tutto corretta, perché trascura la soluzione $x=2$; ammetto che anche nell'equazione generica si possa trascurare una delle due soluzioni.
Dimostro una tesi più ristrettiva: esistono infinite cinquine di numeri interi e positivi $a,b,c,d,x$ che vanno bene. E non le troverò neanche tutte (per fortuna non è richiesto), ma solo una parte di esse.

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L'equazione che lo studente ha risolto è $ax-b-cx-d=1$ e la soluzione va bene anche nell'equazione data; perciò anche in essa deve aversi
$d=ax-b-cx-1$
La differenza fra le radici di due interi può valere 1 solo se le due radici sono due interi consecutivi; quindi, con $y>=0$, deve essere
${(ax-b=(y+1)^2),(cx-d=y^2):}$
Dalla prima equazione ricavo
$b=ax-(y+1)^2$
e sostituendo nella seconda i valori di $b,d$ così trovati, con qualche passaggio arrivo a $cx=y(y+1)$. Anche limitandosi agli interi positivi, questa equazione può avere numerose soluzioni; ad esempio, per $y=3$ le coppie ordinate $(c,x)$ possono essere $(1,12),(2,6),(3,4),(4,3),(6,2),(12,1)$. Considererò soltanto la soluzione in cui i fattori a primo membro sono ordinatamente uguali a quelli a secondo membro, cioè quella in cui
${(c=y),(x=y+1),(b=ax-(y+1)^2),(d=ax-b-cx-1):}->{(c=y),(x=y+1),(b=a(y+1)-(y+1)^2),(d=y):}$

Esistono quindi infinite soluzioni con interi, una per ogni coppia di interi $(a,y)$; sono positive se valgono le limitazioni $y>0$ (perché $c>0$) e $a>y+1$ (perché $b>0$).

[axpgn]

Bravo!

E con un parametro solo?



Cordialmente, Alex

[giammaria]

Cosa intendi parlando di un parametro solo? Alla fine del mio ragionamento, puoi eliminarne uno dei miei due assegnandogli un qualsiasi valore opportuno.

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Ad esempio, puoi porre $a=y+2$

Rilancio il problema: dimostrare che ci sono infiniti valori reali per cui il metodo dello studente dà una soluzione corretta di $sqrt(ax-b)-sqrt(bx-a)=1$

[axpgn]

Chiaramente è corretto quanto dici, intendevo un procedimento che portasse ad un solo parametro ma lascia perdere, non è importante

Cordialmente, Alex

[giammaria]

Nessuno ha colto il mio rilancio e lo faccio di nuovo, una settimana dopo: chiedevo di dimostrare che ci sono infiniti valori reali per cui il metodo dello studente dà una soluzione corretta di $sqrt(ax-b)-sqrt(bx-a)=1$

[axpgn]

A dir la verità io avevo raccolto ma non ho trovato niente di semplice

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Se per esempio risolvi $ax-b-bx-a=1$ e ottieni $x=(a+b+1)/(a-b)$ poi basta sostituirlo nell'altra però viene complicata

Se la passi a Wolfram, ti dà una soluzione (in $a$ e $b$ che dipende da $a$) ma non è semplice

Cordialmente, Alex

[giammaria]

Do un hint; è sulla falsariga della mia precedente soluzione.

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Indicando con $y$ la seconda radice...
La formula finale effettivamente non è semplice, ma basta dimostrare che ci sono soluzioni reali.

[giammaria]

E' passato quasi un mese dal mio rilancio e penso che sia ora di dare la mia soluzione, mostrando che c'è una risposta facile.

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Indicando con $y$ la seconda radice, l'equazione dice che la prima radice vale $y+1$. Quindi

${(bx-a=y^2),(ax-b=(y+1)^2):}$

L'equazione dello studente è $ax-b-bx-a=1$ e sottraendola dalla somma delle altre due si arriva a $bx=y^2+y$, che scrivo al posto dell'equazione dello studente.
Inoltre sostituendo questo valore di $bx$ nella prima equazione, essa diventa

$y^2+y-a=y^2->a=y$

Ho quindi il sistema

${(a=y),(ax-b=(y+1)^2),(bx=y^2+y):}->{(a=y),(b=xy-(y+1)^2),(x^2y-x(y+1)^2-(y^2+y)=0):}$

Avevo indicato con $y$ una radice, quindi c'è la limitazione $y>=0$.
Con $y=0$ il sistema dà $a=0; b=-1; x=0$, accettabile.
Con $y>0$ nell'ultima equazione il coefficiente di $x^2$ è positivo ed il termine noto negativo, quindi le soluzioni sono reali.
Ci sono perciò infinite soluzioni, dato che ad ogni $y>0$ corrispondono, reali, un valore di $a$ e due valori di $x$, ciascuno dei quali accompagnato da un $b$ reale.