Anche la conclusione di quello studente non è del tutto corretta, perché trascura la soluzione $x=2$; ammetto che anche nell'equazione generica si possa trascurare una delle due soluzioni.
Dimostro una tesi più ristrettiva: esistono infinite cinquine di numeri interi e positivi $a,b,c,d,x$ che vanno bene. E non le troverò neanche tutte (per fortuna non è richiesto), ma solo una parte di esse.
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L'equazione che lo studente ha risolto è $ax-b-cx-d=1$ e la soluzione va bene anche nell'equazione data; perciò anche in essa deve aversi
$d=ax-b-cx-1$
La differenza fra le radici di due interi può valere 1 solo se le due radici sono due interi consecutivi; quindi, con $y>=0$, deve essere
${(ax-b=(y+1)^2),(cx-d=y^2):}$
Dalla prima equazione ricavo
$b=ax-(y+1)^2$
e sostituendo nella seconda i valori di $b,d$ così trovati, con qualche passaggio arrivo a $cx=y(y+1)$. Anche limitandosi agli interi positivi, questa equazione può avere numerose soluzioni; ad esempio, per $y=3$ le coppie ordinate $(c,x)$ possono essere $(1,12),(2,6),(3,4),(4,3),(6,2),(12,1)$. Considererò soltanto la soluzione in cui i fattori a primo membro sono ordinatamente uguali a quelli a secondo membro, cioè quella in cui
${(c=y),(x=y+1),(b=ax-(y+1)^2),(d=ax-b-cx-1):}->{(c=y),(x=y+1),(b=a(y+1)-(y+1)^2),(d=y):}$
Esistono quindi infinite soluzioni con interi, una per ogni coppia di interi $(a,y)$; sono positive se valgono le limitazioni $y>0$ (perché $c>0$) e $a>y+1$ (perché $b>0$).
- Indicando i metri con m e i centimetri con cm, si ha m=100 cm. Quindi 5 centimetri equivalgono a metri m=100*5=500.
- E' disonesto che un disonesto si comporti in modo onesto (R. Powell)