Mando la mia soluzione, anche se è tutt'altro che elegante.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Indico con $A_n+B_n$ la somma da calcolare, avendo posto
$A_n=(1-x)^(n+1) sum_(k=0)^(n) ((n+k),(k))x^k ;" "" "" " B_n=x^(n+1) sum_(k=0)^(n) ((n+k),(k))(1-x)^k$
Noto che si passa dal'uno all'altro con lo scambio fra $x$ e $1-x$ e faccio i calcoli per la sola parte $A_n$; alla fine, farò quello scambio per avere il risultato relativo a $B_n$. Si ha
$A_(n+1)-A_n=(1-x)^(n+2) sum_(k=0)^(n+1) ((n+1+k),(k))x^k-(1-x)^(n+1) sum_(k=0)^(n) ((n+k),(k))x^k=$
$=(1-x)^(n+1)[sum_(k=0)^(n+1) ((n+1+k),(k))x^k-sum_(k=0)^(n+1) ((n+1+k),(k))x^(k+1)-sum_(k=0)^(n) ((n+k),(k))x^k]=$
$=(1-x)^(n+1)(S_1-S_2-S_3)$
avendo ordinatamente indicato con $S_1,S_2,S_3$ le tre sommatorie. Si ha
$S_1-S_3=sum_(k=0)^(n+1) ((n+1+k),(k))x^k-sum_(k=0)^(n+1) ((n+k),(k))x^k+((n+n+1),(n+1))x^(n+1)=$
$=sum_(k=0)^(n+1)[ ((n+1+k),(k))- ((n+k),(k))]x^k+((2n+1),(n+1))x^(n+1)$
La sommatoria può partire da $k=1$ perché l'addendo con $k=0$ è nullo. Per la formula di Stiefel
$S_1-S_3=sum_(k=1)^(n+1)((n+k),(k-1))x^k+((2n+1),(n+1))x^(n+1)$
Passo ora al calcolo di $S_2$, in cui faccio la sostituzione $h=k+1$. Ho quindi
$S_2=sum_(h=1)^(n+2)((n+h),(h-1))x^h=sum_(h=1)^(n+1)((n+h),(h-1))x^h+((2n+2),(n+1))x^(n+2)$
e poiché $((2n+2),(n+1))=((2n+2)!)/((n+1)!(n+1)!)=(2(n+1)(2n+1)!)/((n+1)n!(n+1)!)=2((2n+1),(n+1))$ ottengo
$S_2=sum_(h=1)^(n+1)((n+h),(h-1))x^h+2((2n+1),(n+1))x^(n+2)$
Perciò
$A_(n+1)-A_n=(1-x)^(n+1)[sum_(k=1)^(n+1)((n+k),(k-1))x^k+((2n+1),(n+1))x^(n+1)-sum_(h=1)^(n+1)((n+h),(h-1))x^h-2((2n+1),(n+1))x^(n+2)]=$
$=((2n+1),(n+1))x^(n+1)(1-x)^(n+1)(1-2x)$
Per avere $B_(n+1)-B_n$ faccio lo scambio di cui parlavo all'inizio; i primi fattori restano inalterati e $1-2x$ diventa
$1-2(1-x)=-1+2x=-(1-2x)$
Ho lo stesso risultato, ma cambiato di segno, quindi
$(A_(n+1)-A_n)+(B_(n+1)-B_n)=0->A_(n+1)+B_(n+1)=A_n+B_n$
Al variare di $n$, la somma richiesta resta costante e ci basta calcolarne il valore iniziale
$A_0+B_0=(1-x)^1((0),(0))x^0 +x^1((0),(0))(1-x)^0=1-x+x=1$
Puff, pant! Che faticaccia è stato digitarlo!
- Indicando i metri con m e i centimetri con cm, si ha m=100 cm. Quindi 5 centimetri equivalgono a metri m=100*5=500.
- E' disonesto che un disonesto si comporti in modo onesto (R. Powell)