Identità

[dan95]

Fissato $n$ numero naturale positivo mostrare che

$\sum_{k=0}^{n} ((n+k),(k)) [x^k(1-x)^(n+1)+x^(n+1)(1-x)^(k)]=1$

per ogni $x \in \mathbb{R}$.

[giammaria]

Mando la mia soluzione, anche se è tutt'altro che elegante.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Indico con $A_n+B_n$ la somma da calcolare, avendo posto

$A_n=(1-x)^(n+1) sum_(k=0)^(n) ((n+k),(k))x^k ;" "" "" " B_n=x^(n+1) sum_(k=0)^(n) ((n+k),(k))(1-x)^k$

Noto che si passa dal'uno all'altro con lo scambio fra $x$ e $1-x$ e faccio i calcoli per la sola parte $A_n$; alla fine, farò quello scambio per avere il risultato relativo a $B_n$. Si ha

$A_(n+1)-A_n=(1-x)^(n+2) sum_(k=0)^(n+1) ((n+1+k),(k))x^k-(1-x)^(n+1) sum_(k=0)^(n) ((n+k),(k))x^k=$

$=(1-x)^(n+1)[sum_(k=0)^(n+1) ((n+1+k),(k))x^k-sum_(k=0)^(n+1) ((n+1+k),(k))x^(k+1)-sum_(k=0)^(n) ((n+k),(k))x^k]=$

$=(1-x)^(n+1)(S_1-S_2-S_3)$

avendo ordinatamente indicato con $S_1,S_2,S_3$ le tre sommatorie. Si ha

$S_1-S_3=sum_(k=0)^(n+1) ((n+1+k),(k))x^k-sum_(k=0)^(n+1) ((n+k),(k))x^k+((n+n+1),(n+1))x^(n+1)=$

$=sum_(k=0)^(n+1)[ ((n+1+k),(k))- ((n+k),(k))]x^k+((2n+1),(n+1))x^(n+1)$

La sommatoria può partire da $k=1$ perché l'addendo con $k=0$ è nullo. Per la formula di Stiefel

$S_1-S_3=sum_(k=1)^(n+1)((n+k),(k-1))x^k+((2n+1),(n+1))x^(n+1)$

Passo ora al calcolo di $S_2$, in cui faccio la sostituzione $h=k+1$. Ho quindi

$S_2=sum_(h=1)^(n+2)((n+h),(h-1))x^h=sum_(h=1)^(n+1)((n+h),(h-1))x^h+((2n+2),(n+1))x^(n+2)$

e poiché $((2n+2),(n+1))=((2n+2)!)/((n+1)!(n+1)!)=(2(n+1)(2n+1)!)/((n+1)n!(n+1)!)=2((2n+1),(n+1))$ ottengo

$S_2=sum_(h=1)^(n+1)((n+h),(h-1))x^h+2((2n+1),(n+1))x^(n+2)$

Perciò
$A_(n+1)-A_n=(1-x)^(n+1)[sum_(k=1)^(n+1)((n+k),(k-1))x^k+((2n+1),(n+1))x^(n+1)-sum_(h=1)^(n+1)((n+h),(h-1))x^h-2((2n+1),(n+1))x^(n+2)]=$

$=((2n+1),(n+1))x^(n+1)(1-x)^(n+1)(1-2x)$

Per avere $B_(n+1)-B_n$ faccio lo scambio di cui parlavo all'inizio; i primi fattori restano inalterati e $1-2x$ diventa
$1-2(1-x)=-1+2x=-(1-2x)$

Ho lo stesso risultato, ma cambiato di segno, quindi

$(A_(n+1)-A_n)+(B_(n+1)-B_n)=0->A_(n+1)+B_(n+1)=A_n+B_n$

Al variare di $n$, la somma richiesta resta costante e ci basta calcolarne il valore iniziale

$A_0+B_0=(1-x)^1((0),(0))x^0 +x^1((0),(0))(1-x)^0=1-x+x=1$

Puff, pant! Che faticaccia è stato digitarlo!

[dan95]

@giammaria

Bravo!

[giammaria]

Riporto in evidenza questo problema perché mi sembra impossibile che non ci siano risposte meno faticose della mia. Qualche buona idea?

[sellacollesella]

Da una breve ricerca ho scoperto che si tratta di una identità dovuta a Bill Gosper pubblicata nel 1972 su HAKMEM, uno dei primi compendi di tecniche algoritmiche, a pagina 16 sotto "Item 42". È una questione proposta una decina di anni fa in un altro forum, qui si possono leggere alcune possibili dimostrazioni.

[giammaria]

Grazie mille.