Imo 2022 teoria dei numeri

[dan95]

Trovare le terne $(a,b,p)$ di interi positivi, con $p$ numero primo, tali che

$$a^p=b!+p$$

[C0SIM0]

$a^p = b! + p$

Caso 1 $a \leq b$
Per il piccolo teorema di Fermat si ha che $a^p \equiv_{p} a$ e dunque $a|p$ ossia $a=p$.
Riscrivo come $p^p - p = b!$, raccogliendo $p(p^(p-1) - 1) = b!$. Si vede dunque che \(\displaystyle p \nmid {p^{p-1} - 1} \) dunque \(\displaystyle p^2 \nmid b! \).

Si ha allora $b < p^2$ e $b!< p^3$¹

Posso impostare una disuguaglianza $p^(p-1) - 1 < p^2$ dunque $p^(p-1) - p^2 < 1$ quindi $p - 1 = 1 \vee p - 1 = 2$, ossia $p = 2 \vee p = 3$.

Che danno come risultati $(2,2,2)$, $(3,4,3)$.

Caso 2 $a > b$
Si ha che $b > p$ quindi posso scrivere $b! = p^ik$ con $(k,p) = 1$.
Allora $a^p = p^ik + p$ e dunque $p|a$ allora $a = ph$ quindi $p^ph^p = p^ik + p$.
Riscrivo come $p^ph^p = p(p^(i-1)k + 1)$ che è divisibile per $p$ ma non per $p^2$.

Dunque $p < 2$, assurdo.

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Note

1. questo è un errore, non riesco a dedurlo da quanto scritto in precedenza, la dimostrazione risulta per il momento errata. ↑