Gio, ti propongo la mia soluzione al problema.
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L'area è data dalla differenza dell'area del cerchio centrale, pari a $16\pi$, e delle aree dei quattro segmenti circolari a una base (equivalenti tra loro), aventi per basi $DF$ e $GE$. Sia $A$ l'area incognita e sia $A_s$ l'area di ciascuno dei segmenti.
$A=16\pi-4A_s$.
$A_s=A_S-A_t$, ovvero la differenza dell'area del settore circolare e di quella del triangolo "in più". Siccome l'angolo al centro del settore misura $120$ gradi (il che si giustifica anche solo per mezzo della tradizionale costruzione geometrica del triangolo equilatero), l'area del settore sarà un terzo dell'area del cerchio, cioè $16/3\pi$. L'area del triangolo, invece, sarà data dal doppio dell'area di $CHE$, detto $H$ il piede dell'altezza relativa al lato $GE$ di $GCE$. Essendo il triangolo isoscele, $CHE$ avrà un angolo interno di trenta gradi e $\overline{CH} = 4/2=2$. Per il teorema di Pitagora, $\overline{EH} = \sqrt{16-4}=2\sqrt{3}$ e l'area di $CHE$ sarà pari a $2\sqrt{3}$.
$A_s=16/3\pi-4\sqrt{3}$.
$A=16\pi-64/3\pi+16\sqrt{3}=16\sqrt{3}-16/3\pi$.