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Siccome tutte le quaterne sono a somma zero, basta mostrare che il massimo dei moduli tra le componenti delle quaterne in una stessa orbita tende a $+\infty$. Supponiamo il contrario, ovvero che esista $(a,b,c,d)$ tale che il massimo dei moduli delle componenti delle quaterne nella sua orbita sia limitato. A meno di rimpiazzare $(a,b,c,d)$ con $(-a,-b,-c,-d)$, possiamo supporre che tale massimo venga realizzato da una componente positiva. Sia $(n_1,n_2,n_3,n_4)$ la quaterna che realizza il massimo; a meno di permutare $(a,b,c,d)$ possiamo supporre che $n_1\ge |n_i|$ per ogni $i$. Adesso $n_2$ non può essere negativo, perchè altrimenti allo step dopo $n_1-n_2>n_1$. D'altronde da qualche parte ci deve essere una componente negativa, visto che la somma è $0$. Se $n_4<0$, allo step dopo $n_4-n_1<n_4$, il che è ancora assurdo perchè $|n_4-n_1|=n_1-n_4>n_1$. Allora però sia $n_2$ che $n_4$ devono essere positivi o nulli, il che implica che $n_3$ è negativo. Ovviamente se $n_2$ o $n_4$ sono $>0$, $|n_3|=|n_1+n_2+n_4|>n_1$, il che è ancora una contraddizione. L'unica chance quindi è che la quaterna sia $(n_1,0,-n_1,0)$, che però in altri due step si becca $2n_1$ come seconda componente, contraddicendo ancora una volta l'assunzione.