The Happy Ending, Parte I

[3m0o]

The Happy Ending:
Dimostrare che qualunque insieme di 5 punti nel piano in posizione generale, ovvero tale che non ci sono triplette di punti collineari, contiene almeno 4 punti che formano i vertici di un quadrilatero convesso.

Per una generalizzazione The Happy Ending, Parte II

[axpgn]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Così?

Cordialmente, Alex

[3m0o]

Sì

@axpgn

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Noto che nel altro thread non avete dimostrato per il pentagono, se vuoi ho una dimostrazione, la posto nel tuo thread.

[axpgn]

Va bene ma sarei più curioso di cosa pensi della citazione nel mio ultimo post in quel thread

[3m0o]

Beh non capisco molto bene siccome non c'è scritto cos'è la congettura (Pk) and (Qk). Ne spieghi cosa significa 2k~2, penso che in realtà sia \(2^{k-2} \). Penso che (Qk) sia che il numero minimo di punti sia \(2^{k-2} +1 \) congetturato appunto da Erdős–Szekeres.

[axpgn]

C'è il link al documento completo, dagli un'occhiata

[3m0o]

Non ho capito comunque cosa vuoi che ti dica
Cosa penso rispetto a cosa esattamente? Se la congettura di Szekeres è vera ? C'è un paper di Andrew Suk abbastanza recente in cui ha "quasi" dimostrato la congettura di Szekeres, dimostrando che questo numero è uguale a \( 2^{n +o(n)} \).

[axpgn]

Non ho capito comunque cosa vuoi che ti dica

Dato che hai ri-tirato fuori l'argomento, semplicemente cosa ne pensavi di quello che c'era scritto nell'altro thread (tutto compreso ) e se ci fossero delle novità. Tutto qui

Cordialmente, Alex

P.S.: anche perché un tuo commento è sempre interessante

[3m0o]

Ahhh
Beh trovo molto affascinante questo problema, anche perché è molto legato alla teoria di Ramsey, che a me piace tanto, inoltre mi pare che appunto il teorema di Erdos-Szekeres lo hanno dimostrato usando la teoria di Ramsey, e sicuramente c'è una dimostrazione del risultato in "The Happy Ending, Parte II" molto semplice e breve che credo potrebbe anche fare uno studente liceale a patto che conosca il teorema di Ramsey per gli ipergrafi e un lemma aggiuntivo la cui dimostrazione forse è un po' fuori portata. Diciamo che questo problema è stato uno dei problemi alla base per sviluppare la teoria di Ramsey, che tipicamente risolve problemi tipo "quanto grande deve essere un oggetto perché abbia una certa proprietà".
Non ho guardato se esistono risultati simili in dimensioni superiori, e anche questo potrebbe essere un problema interessante.

Rispetto al altro thread la dimostrazione di orsoulx (che poi era anche quella di Esther Klein, poi diventata Esther Szekeres ) è quella che avevo in mente per questo thread. Per la citazione beh su questo problema ci hanno lavorato in tanti ed è decisamente un problema molto complesso il trovare esplicitamente quanti punti sono sufficienti in generale ma anche nello specifico, siccome si conoscono solo il numero di punti per il triangolo, il quadrilatero, il pentagono e l'esagono, già per l'eptagono non si sa quanto debba essere questo numero, ma si sa che è compreso tra \(33 \) e \(253 \). In generale si sa che questo numero è compreso tra \(2^{n-2} +1 \) e \( \binom{2n-4}{n-2} +1 \).

ps: non avevo visto che era già stato aperto un thread simile

[axpgn]

Thanks