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Premesso che non sono del tutto convinto, assumendo per vero il tuo claim tu dimostri che se esiste una soluzione $(x,y)$ di una delle equazioni tale per cui sia $x+y=k$ questa è unica per quel $k$, però non è dimostrato che per ogni $k$ esista una coppia che sia anche soluzione di una delle equazioni.
Ma il mio dubbio principale rimane sull'induzione; questa si basa sul fatto che la premessa del passo induttivo (assunzione validità del caso $n$) non cambi quando si analizza il caso $n+1$ o comunque, se cambia, rimanga valida prima di validare il caso $n+1$; e non è così nella tua soluzione ovvero dato che nel caso $n+1$ tutte le prime $n$ equazioni sono diverse da quelle del caso $n$ non puoi supporre a priori che abbiano anch'esse $n$ soluzioni e per di più "ricoprano" ogni $k$ da $1$ a $n$.
Ma il mio dubbio principale rimane sull'induzione; questa si basa sul fatto che la premessa del passo induttivo (assunzione validità del caso $n$) non cambi quando si analizza il caso $n+1$ o comunque, se cambia, rimanga valida prima di validare il caso $n+1$; e non è così nella tua soluzione ovvero dato che nel caso $n+1$ tutte le prime $n$ equazioni sono diverse da quelle del caso $n$ non puoi supporre a priori che abbiano anch'esse $n$ soluzioni e per di più "ricoprano" ogni $k$ da $1$ a $n$.
IHMO
Cordialmente, Alex