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Fissiamo un \(n\) arbitrario.
Proposizione 1: Sia \( \ell > k \) e siano \((x_1,y_1 ) \) e \((x_2,y_2)\) soluzioni rispettivamente di \( \ell x_1 +(\ell+1)y_1 = n-\ell +1 \) e \( k x_2 +(k+1)y_2 = n-k+1 \) allora \( x_1+y_1 < x_2+y_2 \).
Dimostrazione:
Supponiamo che \(x_1 < x_2 \) allora
\[ \ell x_1 + (\ell +1 ) y_1 < k x_2 + (k+1) y_2 \]
da cui
\[ (\ell+1) x_1 + (\ell +1 ) y_1 < k x_2 + (k+1) y_2 + x_1 < k x_2 + (k+1)y_2 + x_2 \]
da cui
\[ (\ell+1) ( x_1 +y_1) < (k+1)(x_2+y_2) \]
da cui
\[ \frac{x_1+y_1}{x_2+y_2} < \frac{k+1}{\ell+1} < 1 \]
Se invece \(x_1 \geq x_2 \) allora \( y_1 < y_2 \) altrimenti
\[ \ell x_1 + (\ell +1) y_1 \geq \ell x_2 + (\ell + 1) y_2 \geq k x_2 +(k+1)y_2 \]
che è assurdo.
\[ \ell x_1 + \ell y_1 + y_1 < k x_2 + k y_2 + y_1 < kx_2 + ky_2 + y_2 \]
da cui
\[ \ell (x_1+y_2 ) < k(x_2+y_2) \]
pertanto
\[ \frac{x_1+y_1}{x_2+y_2} < \frac{k}{\ell} < 1 \]
Idea:
Ora sia \( a_k := \operatorname{card} \left( \{ (x,y) \in \mathbb{N}^2 : kx+(k+1)y = n-k+1\} \right) \). Sia inoltre \( m_k := \min\{ x+y : kx+(k+1)y = n-k+1\} \} \) se \(a_k \neq 0 \) e \(m_k = 0 \) se \( a_k = 0 \).
\( k_1 := \max_{1 \leq k \leq n} \{ k : a_k \neq 0 \} \) e ricorsivamente \( k_{i} := \max_{ 1 \leq k \leq k_{i-1} } \{ k : a_k \neq 0 \} \). Sia inoltre \( r = \operatorname{card} \{ k : a_k \neq 0 \} \leq n \).
Per la proposizione 1 abbiamo chiaramente \( m_{k_1} < m_{k_2} < \ldots < m_{k_r} \). Inoltre è immediato vedere che per ogni \( 1 \leq k \leq n \) abbiamo che \(1 \leq m_k \leq n \) poiché \(1 \leq x+y \leq kx+(k+1)y \leq n \).
Ad \( (a_1 ,\ldots, a_n ) \) associamo tramite una mappa \( \phi \) una funzione \( f: \{ 1 ,\ldots, n \} \to \{1,\ldots, n\} \)
\[ f(1)= f(1+1)= \ldots = f(n-k_1) = 0 \]
\[ f(n-k_1+1) = \ldots = f(n-k_2) = m_{k_1} \]
e così via
\[f(n-k_{r-1} +1) = \ldots = f(n-k_r) = m_{k_{r-1}} \]
\[ f(n - k_{r} +1 ) = \ldots = f(n)= m_{k_r} \]
Chiaramente \( f : \{ 1 ,\ldots, n\} \to \{ 1 , \ldots, n \} \) è una funzione crescente, inoltre da \(f\) si può passare alla successione \( (a_1,\ldots,a_n) \) via una biiezione \( \psi\) tra le funzioni crescenti \( \{ 1 ,\ldots, n\} \to \{ 1 , \ldots, n \} \) e le soluzioni negli interi non negativi all'equazione \( x_1 + \ldots + x_n = n \) dunque abbiamo che \( a_1 + \ldots + a_n = n \).
Non ho voglia di trovare esplicitamente \( \psi \), ma direi che così funziona.
Edit: nel esempio con \(n = 7\) abbiamo che \( r= 3, k_1 = 4, k_2=2, k_3=1 \) e \(m_{k_1}=1, m_{k_2}=2, m_{k_3} = 4 \) da cui
\[ f(1)=f(2)=f(3)= 0 , f(4)=f(5)=1, f(6)=2, f(7) = 4 \].
e si trova tramite la biiezione
\[ (4,2,0,1,0,0,0) \]
Mi manca da dimostrare che \( a_k = m_k \) per ogni \(1 \leq k \leq n \).