Floor

[axpgn]

Sia dato $n$ intero positivo.

Determinare quanti numeri reali $x$ (con $1<=x<n$) soddisfano l'equazione $x^3-floor(x^3)=(x-floor(x))^3$


Cordialmente, Alex

[giammaria]

La risposta dovrebbe essere $n^3-n$. Sperando in bene, perché su questo problema ho già fatto più di un ragionamento sbagliato, accorgendomi solo dopo dell'errore.

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Posto $a=[x]; b=[x^3]$, si ha $x=a+u$ con $0<=u<1$. L'equazione (con incognita $u$) diventa

$(a+u)^3-b=(a+u-a)^3->a^3+3a^2u+3au^2+u^3-b=u^3-> 3au^2+3a^2u+(a^3-b)=0$

Fissato un valore di $b$, ne deduco $a$ dalla $a^3<=b<(a+1)^3$.
Se $a^3=b$, una soluzione è 0, accettabile, mentre l'altra è negativa: non accettabile perché $u>=0$. Se invece $a^3<b$, il termine noto è negativo ed il coefficiente di $u^2$ è positivo: ci sono quindi due soluzioni di segno opposto, ma solo quella positiva è accettabile. In ogni caso, c'è una sola soluzione accettabile e se non ci fosse altro da considerare ci sarebbero tante soluzioni quanti i possibili valori di $b$, e cioè $n^3-1$.
Bisogna però ancora controllare che sia $u<1$ e per farlo riscrivo la limitazione $b<(a+1)^3$ nella forma $b<=(a+1)^3-1 harr b<=a^3+3a^2+3a$. Considero poi la parabola $y=3au^2+3a^2u+(a^3-b)$: è rivolta verso l'alto ed interseca l'asse delle ascisse in due punti a cavallo dell'origine. Si ha

$y(1)= 3a+3a^2+a^3-b>=0$ (avendo usato la predetta limitazione)

Se vale il maggiore, tutto bene perché 1 è a destra delle intersezioni; se invece vale l'uguale, la soluzione positiva è $u=1$, non accettabile. Quindi per ogni valore di $a$ bisogna scartare la soluzione relativa alla $b$ maggiore possibile; ci sono $n-1$ valori possibili di $a$ e quindi la risposta finale è

$n^3-1-(n-1)=n^3-n$

[axpgn]

Corretto!

Bravo anche perché è un quesito un po' subdolo come spesso lo sono quelli che contengono la funzione "floor".

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Ecco una dimostrazione più "informale"

Prendiamo $n=2$.
Allora in ciascun intervallo $[k^(1/3),(k+1)^(1/3))$, con $k$ intero e $1<=k<=7$, la funzione $x^3-floor(x^3)$ cresce da $0$ verso $1$ mentre la funzione $(x-floor(x))^3$ cresce da $0$ verso $1$ su tutto l'intervallo $[1,2)$.
Si vede facilmente che ci sono $6$ intersezioni tra le due funzioni.
Lo stesso ragionamento si può ripetere per $n=3,4,5,...$

Quindi la risposta corretta è $n^3-n$

Cordialmente, Alex