Trovare i valori reali di $x$ che soddisfino la seguente equazione:
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (x+1)(x^2+1)(x^3+1)=30x^3$
Cordialmente, Alex
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Re: Equazione
da dan95 » 30/08/2022, 22:46
La prima soluzione che mi viene in mente, sicuramente ne esiste una più creativa
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
$(x+1)(x^2+1)(x^3+1)-30x^3=(x^2-3x+1)(x^4+4x^3+12x^2+4x+1)$
Il primo fattore della scomposizione possiede due radici
$x_{1,2}=3/2 \pm \sqrt{5}/2$
mentre il secondo fattore non ha radici reali infatti
$x^4+4x^3+12x^2+4x+1=x^2(x+2)^2+(2x+1)^2+4x^2$
essendo somma di tre termini al quadrato nei reali si annulla se e solo se si annullano tutti e tre i termini ma si vede subito che questo non vale per $x \in \mathbb{R}$.
Il primo fattore della scomposizione possiede due radici
$x_{1,2}=3/2 \pm \sqrt{5}/2$
mentre il secondo fattore non ha radici reali infatti
$x^4+4x^3+12x^2+4x+1=x^2(x+2)^2+(2x+1)^2+4x^2$
essendo somma di tre termini al quadrato nei reali si annulla se e solo se si annullano tutti e tre i termini ma si vede subito che questo non vale per $x \in \mathbb{R}$.
Ultima modifica di dan95 il 31/08/2022, 10:23, modificato 1 volta in totale.
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"La capacità di scegliere è un dono che la natura fa all'uomo. Scegliere è un dono che l'uomo fa a se stesso." D.B.
"Il genio è semplicemente un uomo con la mente da donna." D. B.
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Re: Equazione
da axpgn » 31/08/2022, 10:20
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Questa non è un'uguaglianza
Mi sfugge qualcosa?
dan95 ha scritto:$x^4+4x^3+12x^2+4x+1=x^2(x^2+2)^2+(2x^2+1)+4x^2$
Mi sfugge qualcosa?
Cordialmente, Alex
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Re: Equazione
da dan95 » 31/08/2022, 10:22
La stanchezza... correggo subito...
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Re: Equazione
da dan95 » 31/08/2022, 10:31
Ho il sospetto che una soluzione più creativa abbia a che fare con le
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Medie
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Re: Equazione
da axpgn » 31/08/2022, 10:49
Invece io la trovo bella 
Cordialmente, Alex
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Però devi dirmi come hai trovato quella anzi quelle scomposizioni: d'istinto o dopo tribolazioni? 
La soluzione dell'autore è certamente creativa ma decisamente più complicata
Dato che lo zero non è una soluzione, divide tutto per $x^3$ e pone $z=x+1/x$, trasformandola in $z^3+z^2-2z+30=0$ che ha come unica soluzione $z=3$ e poi da qui il resto ...
La soluzione dell'autore è certamente creativa ma decisamente più complicata
Dato che lo zero non è una soluzione, divide tutto per $x^3$ e pone $z=x+1/x$, trasformandola in $z^3+z^2-2z+30=0$ che ha come unica soluzione $z=3$ e poi da qui il resto ...
Cordialmente, Alex
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Re: Equazione
da dan95 » 31/08/2022, 10:51
Non ho l età per fare calcoli... Ci pensa Wolfram e io ci metto la componente "umana".
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Re: Equazione
da Mephlip » 31/08/2022, 23:54
@axpgn, posso chiederti autore e nome del testo su cui hai trovato questo problema, per favore?
A spoon can be used for more than just drinking soup. You can use it to dig through the prison you're locked in, or as a weapon to gouge the witch's eyes out. Of course, you can also use the spoon to continually sip the watery soup inside your eternal prison.
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Re: Equazione
da axpgn » 01/09/2022, 10:40
Eh, a ricordarsi!
Quando leggo, mi segno quello che ritengo interessante e poi metto via però non annoto tutto, sarebbe un pochino pesante
Sicuramente anche questo proveniva da gare anzi per la preparazione a gare e mi pare fosse canadese, altro non ricordo, mi spiace
Cordialmente, Alex
Quando leggo, mi segno quello che ritengo interessante e poi metto via però non annoto tutto, sarebbe un pochino pesante
Sicuramente anche questo proveniva da gare anzi per la preparazione a gare e mi pare fosse canadese, altro non ricordo, mi spiace
Cordialmente, Alex
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