Centro di simmetria dei primi

[3m0o]

Trovare tutti i numeri interi positivi \(n\) tale che se tutti i numeri primi minori di \(n\) sono \(2, p_0, \ldots, p_k \leq n \), allora \( n=p_j + p_{k-j} \) per ogni \(0\leq j \leq k \).

[hydro]

Ci sarebbe una soluzione elementare in 3 righe, ma perchè non sparare con i cannoni quando si può?

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Mi fido di Wikipedia: \(\frac{x}{\log x-1}<\pi(x)<\frac{x}{\log x-1.1}\) per $x$ grande a sufficienza. Ma gli $n$ che soddisfano la richiesta del problema sono tali che \(\pi(n)=2\pi(n/2)+1\) (se \(n/2\) non è primo, altrimenti la forma è leggermente diversa ma analoga), quindi se $n$ è grande a sufficienza si ha \(\frac{n}{2(\log n-1)}<\frac{\pi(n)}{2}-1/2=\pi(n/2)<\frac{n}{2(\log n-\log 2)-1.1}\), il che però è falso per $n$ grande a sufficienza. Ci si è ridotti così a controllare finiti $n$, e si scopre con un software qualsiasi che $n=8,10$ sono le uniche soluzioni.

[3m0o]

Mmh no

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Magari mi sarò spiegato male, ma sicuramente \(n=8 \) non soddisfa le richieste poiché \( p_0 = 3, p_1=5 \) e \( p_2=7 \) e abbiamo che \( 3+7 \neq 8 \). C'è ne è un' altro comunque.

Ti piace sparare con i cannoni?

[hydro]

Ah certo mi ero dimenticato che c'è anche $7$ tra i primi minori di $8$.

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Allora solo $n=10$.

[3m0o]

Esatto

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C'è ne è un' altro comunque.

Io mi ero dimenticato che c'era il \(5\) prima del \(6\)

La soluzione elementare in 3 righe.

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Penso che come soluzione elementare in 3 righe abbiamo in mente la stessa. Secondo me è molto carina!

Un tale numero \( n\) deve avere la proprietà che i numeri primi dispari sono simmetrici rispetto a \(n/2\). Risulta chiaro che non si può avere \(3,5,7 \leq n/2 \) perché implicherebbe l'esistenza di 3 primi \( n/2 \leq p,p+2,p+4 < n \) ma è impossibile poiché almeno uno dei 3 è divisibile per \(3\). Resta da controllare solo \( n < 14 \).

[giammaria]

Do anche un'altra soluzione elementare.

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Supponiamo che ci sia una soluzione diversa da quella data. Poiché $7-5=5-3=2$, deve anche essere $p_k-p_(k-1)=p_(k-1)-p_(k-2)=2$, cioè $p_(k-1)$ deve appartenere a due distinte coppie di primi gemelli. Ma questo è impossibile perché, a parte $(3,5)$, tutte le coppie di primi gemelli sono nella forma $(6n-1,6n+1)$.

[3m0o]

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Bella, anche se potresti togliere il termine "gemelli" poiché tutti i primi maggiori di \(5\) sono della forma \(6n\pm1\)