Ci riprovo.
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Sia \(n=\prod_{i=1}^r p_i^{e_i}\) la fattorizzazione in primi. Scegliamo $a=n/p_i$ per qualche $i\in \{1,\ldots,r\}$. Dalla relazione \(n\mid a\cdot (a^n-1)\) si evince immediatamente che $e_i=1$. Quindi $n$ è un prodotto di primi distinti. Adesso per ogni $i\in \{1,\ldots,r\}$ scegliamo $a_i$ un generatore modulo $p_i$. Allora $a_i^n\equiv 1 \mod p_i$, e siccome $a_i$ genera dev'essere \(p_i-1\mid n\). Dunque dobbiamo cercare tutti gli $n=p_1\ldots p_r$ con la proprietà che \(p_i-1\mid n\) per ogni $i$. Supponiamo $p_1<p_2<\ldots<p_r$. Siccome $p_i-1$ è $1$ oppure pari, dev'essere necessariamente $p_1=2$. Adesso $p_2-1$ deve dividere $n$, ma i primi che dividono $p_2-1$ sono $<p_2$, quindi dev'essere $p_2-1=p_1$, quindi $p_2=3$. Analogamente, $p_3-1$ divide $n$, quindi i primi che lo dividono possono essere solo $2,3$. Siccome $p_3$ è primo, dev'essere per forza $p_3-1=p_1p_2=6$, e $p_3=7$. Ragionando nello stesso modo si trova $p_4=43$. Adesso c'è un numero finito di possibilità per $p_5-1$, ma nessuna va bene perchè dà valori non primi per $p_5$. Quindi $n\in \{2,2\cdot 3,2\cdot 3\cdot 7,2\cdot 3\cdot 7\cdot 43\}$, e ora basta controllare se questi valori vanno bene o no.