@dan95. Ci provo con l'hint, anche se avrei preferito trovare un approccio più elementare. Mi ero incaponito nella ricerca di una soluzione che non tirasse in ballo lo strumento che hai suggerito.
L'idea è piuttosto semplice. Nelle condizioni in cui ci troviamo vale la seguente uguaglianza: per ogni $x\in\mathbb{R},h\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$, esiste $\xi$ in $(x,x+h)$, se $h>0$,o in $(x+h, x) $ se $h<0$ tale che $$f(x+h)=f(x)+f'(x)h+\frac{f''(\xi)}{2}h^2,$$ da cui, sfruttando la disuguaglianza $f''(x)\le M$, ricaviamo la seguente $$f(x+h)\le f(x)+f'(x)h+\frac{M h^2}{2}.$$ Dato che per ipotesi $f$ è positiva in $\mathbb{R}$, si ha che $f(x+h)>0$, per ogni $x\in\mathbb{R}$ e per ogni $h\ne 0$, sicché deve valere $$f(x)+f'(x)h+\frac{Mh^2}{2}>0, \quad \forall h\in\mathbb{R}.$$ Trattando il primo membro alla stregua di un polinomio in $h$ e parametrico in $x$ e $M$, esso risulta positivo per ogni $h$ se e solo se $M>0$ (e lo è per ipotesi) e $\Delta<0$, vale a dire $(f'(x))^2-2M f(x)<0$, da cui $|f'(x)|<\sqrt{2M f(x)}$ per ogni $x\in\mathbb{R}$...
C'è un valore assoluto di troppo, dovrei dimostrare che $f'(x)$ è non negativa per ogni $x\in\mathbb{R}$, ma nun c'ho voglia .
Edit: ho detto una cavolata. $|f'(x)|<\sqrt{2M f(x)}$ implica $f'(x)<\sqrt{2M f(x)}$ per ogni $f$ che rispetta le ipotesi.