$f'(x) < \sqrt{2Mf}$

[dan95]

Sia $f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ una funzione:

1) positiva per ogni $x \in \mathbb{R}$

2) derivabile due volte

3) Esiste $M>0$ tale che $f''(x) \leq M$ per ogni $x \in \mathbb{R}$

Dimostrare che

$f'(x) < \sqrt{2Mf}$

Approfitto per esprimere un mio parere riguardo al forum, in particolare a questa sezione... Ho notato un calo di partecipazione rispetto a quando l'ho lasciata due anni fa...

[Quinzio]

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Se

$f^{''}(x) < M$

allora

$f^{'}(x) < Mx$ (1)

$f(x) < Mx^2 / 2$.

Quindi verifichiamo che

$f^{'}(x) < \sqrt(2Mf) $.

Abbiamo

$f^{'}(x) < \sqrt(2M M x^2 / 2) $

$f^{'}(x) < M x $

che e' uguale alla (1).

NB.
Nel passare da
$f^{''}(x) < M$
a
$f^{'}(x) < Mx$
ho fatto un integrazione, ovvero
$\int f^{''}(x) dx < \int M dx$
trascurando deliberatamente la costante di integrazione.
La procedura corretta sarebbe
$f^{'}(x) < Mx + C$.

[dan95]

@Quinzio

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Non trascurando il termine otteniamo

$f''(x) \leq M$

$f'(x) \leq Mx +f'(0)$

$f(x) \leq M\frac{x^2}{2} + f'(0)x+f(0)$

sostituendo alla disuguaglianza da dimostrare otteniamo

$f'(x)< \sqrt{M^2x^2+2f'(0)Mx+2Mf(0)}$

Che non è in generale uguale a $Mx$.

[Quinzio]

@dan95

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Ok, pero' le costanti di integrazione non alterano il risultato.
Inoltre non riesco a capire il motivo perche' hai impostato le costanti su $x=0$, ad es. $f^{'}(0)$.
Non e' necessario e anzi, non e' utile.

Vediamo:

$f^{''}(x) < M$
integrando
$f^{'}(x) < Mx + C_1$
che si puo' anche scrivere
$f^{'}(x) < M(x + C_1)$.

Ora, siccome li problema e' invariante alle traslazioni su $x$, possiamo effettuare la traslazione
$x \lArr x+C_1$
e scrivere
$f^{'}(x) < Mx$.
Rimane sempre valida $f^{''}(x) < M$.

Integriamo di nuovo
$f(x) < Mx^2 / 2 + C_2$.

Siccome deve essere $f(x) > 0$ necessariamente $C_2 > 0$.

Quindi se
$f^{'}(x) < \sqrt(2Mf)$ con $f(x) = Mx^2 / 2$
lo sara' a maggior ragione per
$f^{'}(x) < \sqrt(2Mf)$ con $f(x) = Mx^2 / 2 + C_2$

[dan95]

Quindi se
$ f^{'}(x) < \sqrt(2Mf) $ con $ f(x) = Mx^2 / 2 $
lo sara' a maggior ragione per
$ f^{'}(x) < \sqrt(2Mf) $ con $ f(x) = Mx^2 / 2 + C_2 $

Non ho ben capito... Vuoi dimostrare la disuguaglianza usando la disuguaglianza stessa?

Quello che hai scritto è un po' come dire: "Voglio dimostrare che $a < b+c$ con $c>0$ sapendo che $a<b$."

[Mathita]

Mi sono portato questo problema al lavoro perché volevo attaccarlo in qualche modo con metodi "da superiori" e, nonostante i tanti tentativi, ho fallito miseramente. Tra l'altro, la disuguaglianza mi sembra essere notevole (nel senso che l'ho incontrata da qualche parte... Sul Rudin forse?).

Qualche hint?

[dan95]

@mathita

L' autore ha detto che lo ha preso dal Pagani-Salsa.

Hint:

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Approssimare f con il polinomio di Taylor fino al secondo ordine.

[Quinzio]

Quello che hai scritto è un po' come dire: "Voglio dimostrare che $a < b+c$ con $c>0$ sapendo che $a<b$."

Si certo.
Non vedo che problema ci sia.
Se $a<b$ allora con $c > 0$, e' vero che $a<b+c$.

[dan95]

@quinzio

Niente il problema è mio che non ci capisco nulla...

[Quinzio]

Boh, mi viene da dire che la tua risposta e' ironica.
Anche io non capisco.
Buon proseguimento di serata.