Corde

[axpgn]

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Il testo del problema e' ambiguo (anche) perche' non esistono solo curve a forma di uovo, ... Evidentemente l'autore aveva in mente una curva a forma ovoidale, quella che si fa quando uno con una biro traccia un circolo su un foglio di carta, senza porsi troppi problemi su quali siano tutti i tipi di curva.

Non sono affatto d'accordo.
Non so cosa intendesse esattamente l'autore per curva, sicuramente si riferiva a qualcosa che avesse tre punti in cui si potesse tracciare la tangente in modo da potere avere un angolo, non credo serva altro; l'immagine che ho riportato non rappresenta la totalità delle curve interessate e non è neppure esemplificativa, mi serviva solo per evitare di definire tutti gli angoli coinvolti nel problema, prendi un'altra curva se vuoi e tracciali pure.

Il distinguo, corretto, tra cerchio e circonferenza non influisce su quanto dibattuto, ne converrai.

E poi, il fatto che l'autore indichi il cerchio come soluzione dl problema non e' per nulla un indicazione di cosa intendesse. ...

Anzi è il contrario, il senso del problema è: La circonferenza è o non è l'unica curva con tale caratteristica?
Ovvero l'autore parte proprio dal cerchio perché quello è il suo centro di interesse.
Non è un problema a sé stante ma è all'interno di un capitolo teso ad evidenziare altro, in particolare la relazione tra una proposizione e la sua conversa.
In questo caso viene sottolineata la validità del "se e solo se" tant'è che l'autore si spinge ad affermare che questa caratteristica può essere utilizzata alternativamente come definizione di "circonferenza".

Si puo' vedere questa dimostrazione ?

Facendo riferimento all'immagine si ha $a+beta+gamma=2pi, alpha+b+gamma=2pi, alpha+beta+c=2pi$.
Sommando membro a membro otteniamo $(a+b+c)+2(alpha+beta+gamma)=6pi$.
Ora, siccome $a+b+c=2pi$, quindi $2(alpha+beta+gamma)=4pi$ cioè $alpha+beta+gamma=2pi$, comparando quest'ultima con $a+beta+gamma=2pi$, giungiamo a $a=alpha$. Lo stesso per gli altri cioè $b=beta, c=gamma$.
Ripeti il tutto per qualsiasi altro punto $D$ sulla curva.

Mi riferivo al procedimento di giammaria perché ha usato un ragionamento simile.

Cordialmente, Alex

[Quinzio]

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Si pero' la dimostrazione non dimostra nulla perche' e' una tautologia.
Dice di prendere una curva che non e' un cerchio, pero' poi usa le proprieta' dei cerchi per giustificare i vari passaggi.
E' talmente vero che ha addirittura disegnato il triangolo circoscritto, proprio perche' la curva nei 3 punti A, B, C e' tangente al cerchio che passa per A,B,C.
Poi il fatto che questo vale anche per ogni altro punto D e' vero sempre se D e' sul cerchio che passa per ABC. Ma questa e' una conseguenza del teorema dell'angolo al centro e dell'angolo alla circonferenza, che presuppone l'esistenza di un cerchio.
Quando si dice che "Ripeti il tutto per qualsiasi altro punto D sulla curva.", in realta' si deve leggere "Ripeti il tutto per qualsiasi altro punto D sul cerchio che passa per ABC."
Di nuovo, si dice che la curva non e' un cerchio ma poi si usano le proprieta' dei cerchi.

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Aggiungo anche la seconda parte, che volevo che arrivasse attraverso una piccola discussione, ma temo che non arrivera' mai.

Nella dimostrazione di gianmaria, il fatto che bisogna usare le proprieta' dei cerchi per arrivare alla conclusione e' piu' evidente che nella dimostrazione dell'autore che usa un triangolo.
Ho parlato prima di un passaggio che manca nella dimostrazione di gianmaria ed il passaggio e' come segue.
Alla fine della dimostrazione si dice:

$hatA+hatC=pi$ che dimostra che il quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza.

Eh, ma il passaggio non si dimostra da solo, va dimostrato esplicitamente. O meglio, il passaggio e' ovvio perche' uno ha sempre in mente la soluzione, che e' il cerchio, ed effettivamente per il cerchio questo e' vero, ma questa e' anche la tesi da dimostrare, ed anche a un passo dalla fine non si puo' usare la tesi per andare avanti nella dimostrazione.

La dimostrazione dell'ultimo passaggio richiede ancora il teorema dell'angolo al centro e dell'angolo alla circonferenza.
Se prendo un quadrilatero ABCD i cui punti stanno su una circonferenza, i due angoli opposti si sommano a 180 gradi.
Questo perche' un angolo alla circonferenza e' $A\hatBC$ e l'altro e' $C\hatDA$. i due angoli alla circonferenza insistono su angoli al centro la cui somma e' 360 gradi. Siccome gli angoli alla circonferenza sono la meta' dell'angolo al centro, $A\hatBC + C\hatDA = 180$.
Certo, ma questo vale solo se ABCD sta su una circonferenza, ma questa e' proprio quello che si voleva dimostrare. Si usa la tesi per fare la dimostrazione.

La dimostrazione che usa i triangoli ha lo stesso difetto anche se e' messo in maniera piu' subdola.

[giammaria]

@ Quinzio

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Avevo scritto

$hatA+hatC=pi$ che dimostra che il quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza.

e tu dici che il passaggio non si dimostra da solo mentre io dico di sì: infatti il teorema afferma che condizione necessaria e sufficiente perché un quadrilatero sia inscrivibile in una circonferenza è che la somma di due angoli opposti sia un angolo piatto.
Del resto, tu stesso scrivi "La dimostrazione dell'ultimo passaggio richiede ancora il teorema dell'angolo al centro e dell'angolo alla circonferenza" e l'uso di questi teoremi richiede di sapere che c'è la circonferenza; meglio usare la sufficienza.

[axpgn]

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Si pero' la dimostrazione non dimostra nulla perche' e' una tautologia.

No, non è una tautologia; peraltro è una tecnica collaudata per dimostrare che solo un particolare oggetto ha delle precise caratteristiche.
Si parte prendendo un oggetto che si presuppone abbia le caratteristiche richieste senza richiedere che ne abbia altre, si procede con l'argomentazione e si giunge alla conclusione che solo un ben determinato oggetto può possedere le caratteristiche richieste.
Nel nostro caso, si prende una curva e si suppone che OGNI corda (ovvero ogni segmento che ha come estremi punti della curva) formi con la curva lo stesso angolo (ovvero formi con le tangenti alla curva in tali punti lo stesso angolo dalla stessa parte di piano). È chiaro fin qui? Ho fatto riferimento a cerchi o circonferenze? No.
Si prendono tre punti della curva, diciamo $A, B, C$, si tracciano i segmenti $\bar(AB), \bar(AC), \bar(BC)$ ovvero le tre corde e si forma un triangolo. Ci siamo? Niente cerchi o circonferenze neppure qui.
Come "al solito" chiamo $a$ l'angolo in $A$, "$b$" quello in $B$ e "$c$" quello in $C$.
Gli angoli che la corda $\bar(AB)$ forma con la curva (ovvero con le tangenti e che sono UGUALI per ipotesi, non perché faccio riferimento a cerchi o circonferenze) li chiamo $gamma$ e analogamente gli altri li chiamo $beta$ per la corda $\bar(AC)$ e $alpha$ per la corda $\bar(BC)$.
Qui ti rimando alla manipolazione algebrica dei post precedenti nella quale l'unica proprietà che viene richiamata è quella che afferma che la somma degli angoli interni di un triangolo è pari ad un angolo piatto ($a+b+c=2pi$). Niente cerchi e circonferenze.
Adesso, mantenendo fissa la corda $\bar(AB)$ e quindi rimanendo costanti anche gli angoli $gamma$, scelgo un qualsiasi altro punto della curva, diciamo $D$, che sostituisco al punto $C$ e chiamo $d$ l'angolo in $D$.
Ne consegue che anche gli angoli $alpha$ e $beta$ cambiano ma NON cambia il ragionamento precedente che porta alla conclusione $gamma=d$ da cui $c=d$.
Dato che i punti $C$ e $D$ sono qualsiasi, ciò implica che ogni punto della curva "vede" il segmento $\bar(AB)$ sotto lo stesso angolo.
E qual è il luogo dei punti che "vedono" lo stesso segmento sotto lo stesso angolo?
SOLAMENTE la circonferenza.
Punto.

Cordialmente, Alex