Vedo che l'esempio delle parallele non riscuote successo.
Ogni corda che collega le parallele crea angoli uguali, ogni corda.
La corda $AB$ crea in $A$ gli angoli $\alpha$ e $\beta$ e in $B$ crea gli angoli $\beta$ e $\alpha$.
Magari si puo' dire che gli angoli sono scambiati rispetto all'esempio del cerchio, ma non vedo altri problemi di sorta.
Comunque, scartate le parallele, allora direi che le uniche due curve sono il cerchio e la retta.
Sulla retta gli angoli sono tutti zero (e 180 gradi). Del resto la retta altro non e' che un cerchio di raggio infinito.