axpgn ha scritto:If a curve has the property that every chord joining every two points on it meets the curve at the same angle at the two points, is the curve always a circle, or are there other curves with this same property?
Nota: Ho preferito lasciarlo in originale.
Cordialmente, Alex
Metto questo commento in chiaro siccome e' di carattere generale.
Attenzione perche' secondo me il problema si presta a due interpretazioni piuttosto ambigue.
Purtroppo me ne sono accorto solo ora e vorrei fare chiarezza.
Mi spiego: si prendono 2 corde qualsiasi $K$ e $K'$, queste due corde individuano due angoli ciascuna: $\alpha, \beta$ e $\alpha ', \beta '$
La prima interpretazione del problema e' quella che chiede che "solamente" $\alpha = \beta$ e $\alpha ' = \beta '$.
Questa e' l'interpretazione che ho intuito io, che e' piu' debole o generica, ma richiede una soluzione piu' complessa.
Infatti questa interpretazione ammette come possibilita' che $\alpha = \beta \ne \alpha ' = \beta '$
La seconda interpretazione, che credo sia stata quella intuita da Alex e Gianmaria, che e' la piu' "forte", richiede non solo che $\alpha = \beta$ e $\alpha ' = \beta '$, ma che tutti gli angoli siano uguali, ovvero $\alpha = \beta = \alpha ' = \beta '$. E per proprieta' transitiva, ogni corda forma sempre lo stesso angolo.
Il dubbio mi e' venuto perche' continuavo a pensare come mai Alex mi avesse rifiutato la proposta delle due rette parallele.
Infatti l'esempio delle due rette parallele soddisfa la prima interpretazione ma non la seconda. Metto qui un "reminder" delle retta parallele:
axpgn ha scritto:Testo nascosto, fai click qui per vederlo
"Ogni corda" non "Una corda"
Cordialmente, Alex
L'ambiguita' delle due interpretazioni diventa ancora piu' ambigua perche' entrambe le interpretazioni portano alla stessa soluzione, ovvero il cerchio. Ovvero non esistono soluzioni alla prima interpretazione che non soddisfino anche la seconda.
A dire il vero ci sarebbe proprio l'esempio delle due parallele, ma formalmente non e' una curva, quindi la scartiamo definitivamente.
Quindi in pratica il rischio e' quello di non accorgersi mai di questa ambiguita', siccome la soluzione e' la stessa.
Secondo me il problema va inteso nel primo modo, ma ripeto, e' molto facile capirlo nel secondo modo.