$30$

[axpgn]

Is $30$ the largest number that has this property, that all the numbers less than it and relatively prime to it are prime numbers?


Cordialmente, Alex

[hydro]

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Se $n$ ha questa proprietà, tra $1$ e $\sqrt{n}$ ci può essere al massimo un primo che non divide $n$, perchè se ce ne fossero 2 diversi il loro prodotto sarebbe coprimo con $n$ e $<n$. Ma questo vuol dire che $1/q\prod_{p\le \sqrt{n}}p$ divide $n$, dove $q$ è $1$ oppure l'unico primo di cui sopra. In ogni caso, $n$ ha un fattore di almeno \(\frac{1}{\sqrt{n}}\prod_{p\le \sqrt{n}}p\sim \exp(\sqrt{n}\log{\sqrt{n}})/\sqrt{n}\) che asintoticamente è molto, molto più grande di $n$. Ergo, solo un numero finito di $n$ ha questa proprietà. Fatti i conti, si scopre qual è il più grande.

[axpgn]

Fatti i conti, si scopre qual è il più grande.

E quindi quale?

[hydro]

Ah non so, i conti sono roba da ingegneri

[dan95]

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Sia $n$ un numero con quella proprietà, supponiamo abbia $k>3$ fattori primi distinti e supponiamo che $p_M$ sia il più grande numero primo nella fattorizzazione di $n$, abbiamo che $p_M \geq p_k$ allora

$$2 \cdot 3 \cdot 5 \cdots p_{k-1} p_M \leq n$$

Per la disuguaglianza di Bertrand abbiamo che esiste $q$ primo tale che

$p_{M}<q<2p_{M} \Rightarrow p_{k-i} q< 2p_{k-i}p_M < n$

Ora, se $M>k$ allora esiste $p_{k-i}$ tale che $(n,p_{k-i})=1$ ma $(n,q)=1$ e quindi $(n,p_{k-i}q)=1$ questo implica che $p_{k-i}q$ è primo, assurdo. Quindi $p_M=p_k$.


Tuttavia dalla disuguaglianza di Bonse per $k>3$ segue che

$p_{k+1}^2 < 2 \cdot 3 \cdots p_k \leq n$

Quindi $p_{k+1}^2$ risulterebbe primo, assurdo.

In conclusione $n$ ha al più 3 fattori primi distinti che sono 2,3,5 e non contiene quadrati nella fattorizzazione infatti

$7^2=49<4 \cdot 3 \cdot 5 \leq 2^{\alpha} 3^{\beta} 5^{\gamma}$

Necessariemente $\alpha=\beta=\gamma=1$.

Quindi $n$ può valere al più 30.

[axpgn]

@hydro
Matematici!, Sempre 'sta scusa

@dan95
Come al solito, dopo un po' mi sono perso
Comunque non credo che nelle Superiori conoscano la disuguaglianza di Bertrand (la sapevo) o quella di Bonse (mai sentita ); quasi quasi ho capito meglio la dimostrazione di Hydro (che mi sembra più simile a quella che scrivo qui sotto)

Un percorso più terra terra (anche se formalmente incompleto, lo ammetto) è questo:

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Dopo il $4$, il numero cercato $N$ deve essere divisibile per $2$ altrimenti sarebbe coprimo di $4$ ma $4$ non è primo; analogamente dopo il $9$ deve essere divisibile per $3$ e dato che deve anche essere divisibile per due, deve essere divisibile per $6$; dopo il $25$ deve essere divisibile per $30$, dopo il $49$ deve essere divisibile per $210$, dopo il $121$ deve essere divisibile per $2310$ .... and so on.
Ma tra $4$ e $9$ tali numeri sono $4, 6, 8$, tra il $9$ e il $25$ sono $12, 18, 24$ e tra il $25$ e il $49$ c'è solo il $30$.
Tra il $49$ e il $121$ non ce ne sono più dato che $210$ è maggiore di $121$.
Fine della storia.

Cordialmente, Alex