Disco da colorare

[axpgn]

... mmm ... troppo generico, troppo vago ... secondo me, eh ...

[dan95]

@alex

Ho aggiunto qualcosina per essere più preciso nel ragionamento.

Comunque se c'è qualcosa che non torna dimmelo sono qui apposta

[axpgn]

Ecco la mia soluzione ...

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Per induzione

Passo base:
Per $n=2$ la colorazione richiesta è evidente.

Passo induttivo:
Supponiamo che per $n$ punti ($n$ pari) sia possibile suddividere il disco in modo tale che sia possibile colorarlo come richiesto.
Consideriamo $n+2$ punti sul bordo del disco, $(n+2)/2$ curve che li collegano e $(n+2)/2+1$ regioni.
Se togliamo una curva qualsiasi e i due punti alle sue estremità torniamo alla situazione con $n$ punti quindi colorata come richiesto.
Rimettiamo al loro posto i due punti appena tolti e li ricolleghiamo.
Possiamo avere due casi:
- i due punti sono consecutivi; in questo caso la nuova regione che si viene a creare è una parte di una regione più grande e non confina con altre; per giungere a quanto richiesto è sufficiente colorare la nuova regione con il colore opposto a quello della regione da cui discende.
- i due punti non sono consecutivi; in questo caso la nuova curva che si viene a creare divide in due parti la regione attraversata; per giungere a quanto richiesto è sufficiente colorare una delle due parti con il colore opposto a quello che aveva ed invertire i colori di tutte le regioni che si trovano dalla stessa parte.

Cordialmente, Alex

[Mathita]

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Sono un pessimo matematico. l'idea di fondo ricalca un po' quella di axpgn, tuttavia il formalismo mi ha distratto troppo e mi sono perso nelle notazioni. Che babbalucco che sono!

[axpgn]

Esagerato!