Ecco la mia soluzione ...
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Per induzione
Passo base:
Per $n=2$ la colorazione richiesta è evidente.
Passo induttivo:
Supponiamo che per $n$ punti ($n$ pari) sia possibile suddividere il disco in modo tale che sia possibile colorarlo come richiesto.
Consideriamo $n+2$ punti sul bordo del disco, $(n+2)/2$ curve che li collegano e $(n+2)/2+1$ regioni.
Se togliamo una curva qualsiasi e i due punti alle sue estremità torniamo alla situazione con $n$ punti quindi colorata come richiesto.
Rimettiamo al loro posto i due punti appena tolti e li ricolleghiamo.
Possiamo avere due casi:
- i due punti sono consecutivi; in questo caso la nuova regione che si viene a creare è una parte di una regione più grande e non confina con altre; per giungere a quanto richiesto è sufficiente colorare la nuova regione con il colore opposto a quello della regione da cui discende.
- i due punti non sono consecutivi; in questo caso la nuova curva che si viene a creare divide in due parti la regione attraversata; per giungere a quanto richiesto è sufficiente colorare una delle due parti con il colore opposto a quello che aveva ed invertire i colori di tutte le regioni che si trovano dalla stessa parte.
Cordialmente, Alex