Pizza al taglio

[axpgn]

... mmm ... la vedo difficile ...

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Tanto per comicniare, il passo base quale sarebbe?

L'area del pezzo medio (supposto che $n$ tagli massimizzino il numero di pezzi) è $M_n=(piR^2)/((n^2+n+2)/2)$ dove si può supporre che sia $R=1$ e quindi $M_n=(2pi)/(n^2+n+2)$

Cordialmente, Alex

[dan95]

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Sia $A$ l'area della pizza allora il caso base $n=1$ si verifica osservando che $M_1=A/2$ quindi o il taglio divide a metà la pizza quindi $P_1=M_1$ o in due pezzi di misura diversa una delle quali necessariemente più grande della metà $P_1 \geq M_1>\frac{1}{8}M_1$.

Osserviamo che $P(n)M_n=P(n+1)M_{n+1}=A$ quindi $M_{n+1}=\frac{P(n)}{P(n+1)}M_{n}$, dunque se aggiungiamo un taglio e il pezzo $P_n$ rimane inalterato allora si conserva la disuguaglianza, infatti poiché

$\frac{n+1}{8}\frac{P(n)}{P(n+1)} \frac{8}{n} <1$

segue

$\frac{n+1}{8}M_{n+1}=\frac{n+1}{8}\frac{P(n)}{P(n+1)}M_n \leq =\frac{n+1}{8}\frac{P(n)}{P(n+1)} \frac{8}{n} P_n<P_n=P_{n+1}$

Il problema rimane quando $P_n$ viene tagliato...

Comunque la strada mi pare di aver capito non è quella più immediata o giusta... Allora necessito di un hint (sono passati i bei tempi in cui non avevo bisogno...)

[axpgn]

In effetti, mentre i primi due punti erano appropriati per la sezione, il terzo è un "bonus" che va oltre

Per risolverlo "facilmente", l'autore usa un teorema poco noto, il "Teorema di Ismailescu".

Ecco, adesso ti ho detto tutto



Cordialmente, Alex

[dan95]

Non trovo nulla riguardo a questo teorema...

[axpgn]

Beh, è poco noto


Dice ...

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Ismailescu's Theorem

If $n$ cuts ($n>=1$) of a unit circular pizza form $(n^2+n+2)/2$ pieces, then the area of the biggest piece is greater than $pi/(4n)$.

Cordialmente, Alex

[Mathita]

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Ho tentato diversi approcci per attaccare il 3° punto del problema, ma nessuno di questi ha prodotto il risultato sperato. Il teorema che hai suggerito è abbastanza potente da "banalizzare" il quesito (una maggiorazione ad hoc e via) ... Ora però sarei curioso di leggere una dimostrazione di questo teorema. Siccome non ho trovato nulla in giro, non è che per caso hai un riferimento da proporre? Grazie.

Ps: lascio il tempo a Dan95 e a Quinzio di leggere il suggerimento e di formulare una loro soluzione.

[axpgn]

@Mathita

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Sì, è un teorema "potente" e la dimostrazione tutt'altro che banale (non alla mia portata ).

Ho fatto fatica a trovarlo e non saprei come mandartelo ma il riferimento è questo:

Ismailescu, D., Slicing the pie, Discrete and Computational Geometry 30 (2003), 263-276.

Ah, la D. sta per DAN

Cordialmente, Alex

[Mathita]

Trovato! Grazie mille, axpgn!

[axpgn]

Di nulla.

Però adesso ci dici cosa ne pensi, facci una recensione

[Mathita]

@axpgn

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Ho letto l'articolo ed è interessante! Purtroppo non sono entrato in dettaglio perché il relatore si avvale di teoremi pregressi che non conosco. Sembra usare il concetto di indice di avvolgimento (che ho incontrato in analisi complessa, una volta sola, secoli fa) e lo sfrutta per esprimere una generalizzazione della formula di Gauss per il calcolo delle aree di poligoni a partire dalle coordinate dei loro vertici (andando a memoria è legato all'interpretazione geometrica di prodotto vettoriale). L'approccio di Ismailescu è davvero bello, anche se un po' calcolotico: ci sono punti in cui mi perdo, perché dovrei analizzarli con più attenzione ... e perché sono ignorante come una capra.