$100+1$

[axpgn]

@giammaria
Dato che giungiamo tutti allo stesso risultato, "occorre" veramente qualcos'altro o la disposizione dei punti è tutta un'altra rispetto a quella pensata da noi?

[giammaria]

Non ho mai parlato di 100 A.

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Ho parlato di 100 triangoli isosceli, che ci sarebbero se tutte le A fossero vertici di due triangoli isosceli.
L'errore è però lì vicino: non ho tenuto conto del fatto che anche le 19 A dell'ultimo giro non sono vertici del tipo voluto; il ragionamento poi prosegue in modo abbastanza complicato che ti risparmio
Forse (ma solo forse) il calcolo dovrebbe diventare 87-19=68 e poi continuare con $2*68+50=186$. E' questo il risultato ufficiale?

Forse occorre davvero un'altra disposizione dei punti, ma tutte quelle a cui riesco a pensare portano a risultati non superiori a 148. Nella risposta ufficiale non aggiungono qualcosa?

[axpgn]

Ho solo un numero, non sono riuscito a trovare la risposta "dettagliata".

Peraltro, è roba da gare russe per ragazzi delle superiori (vabbè che quelli sono tosti però ... )

Comunque la soluzione è ...

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$150$

[Quinzio]

Alex,

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ultima offerta: sono 150 ?

PS. Onestamente, ho messo la risposta senza vedere che avevi gia' messo la soluzione.

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Vi faccio vedere dove sono i due triangoli aggiuntivi oltre ai 148.
Come si vede dalla figura sotto, si mettono 50 punti a destra (A1, A2, ...) e 50 a sinistra (A1', A2', ...) simmetrici con quelli a destra.
Con questi punti si fanno i 148 come ormai tutti abbiamo capito.
In piu' ci sono i due triangoli A1-A2'-P e A1'-A2-P.
Regolando la distanza di A1 dall'origine si riesce a fare in modo che anche questi due triangoli siano isosceli.

[axpgn]

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Avevo pensato a una soluzione del genere ma non ero andato avanti per due motivi; il primo era che non avevo voglia di fare calcoli per verificare se funzionasse (li ho fatti ora: ponendo unitaria la distanza del primo punto "dall'origine", ottengo $1+sqrt(5)$ per l'altezza e di conseguenza $2+sqrt(5)$ per $A_1B_2$).
Il secondo però è più importante (e non lo ancora risolto): andrebbe dimostrato che gli unici due isosceli "aggiuntivi" sono quelli e non esistono altri di quella "forma".
Spero di essere stato chiaro

Cordialmente, Alex

[axpgn]

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Ho risolto il secondo punto.
Quello è un triangolo isoscele 72-36-72, l'unico triangolo isoscele che si può partizionare in due triangoli isosceli con i lati obliqui uguali

[Quinzio]

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Ho risolto il secondo punto.
Quello è un triangolo isoscele 72-36-72, l'unico triangolo isoscele che si può partizionare in due triangoli isosceli con i lati obliqui uguali

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mmm... si e no.
Se ne possono formare infiniti di quei triangoli.
Ovvero uno alla volta, di triangoli aggiuntivi ce ne sono solo 2, ma se ne possono scegliere tra infiniti, a seconda di dove si trova il primo punto dall'origine (che deve essere a distanza compresa tra 0 e 1).

Ti lascio questa animazione
https://www.geogebra.org/calculator/xzns7gzu
in cui il punto A1 si muove tra 0 e 1, come distanza dall'origine.
Il punto A1SX e' il simmetrico di A1 rispetto all'origine.
I punti Bx sono piazzati in modo da realizzare dei triangoli isosceli con Ax e P, ovvero il tr. isoscele e' Bx-Ax-P.
I punti Bx sono solo immaginari, nella soluzione del problema se ne sceglie solo uno tra gli infiniti, e una volta scelto, si deve piazzare A1SX (e quindi A1) sovrapposto al Bx che si e' scelto.

[axpgn]

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Sì, ma solo quello viene partizionato in due triangoli entrambi isosceli e con i lati obliqui congruenti

[Quinzio]

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Sì, ma solo quello viene partizionato in due triangoli entrambi isosceli e con i lati obliqui congruenti

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Non e' affatto necessario che sia partizionato "in due triangoli entrambi isosceli e con i lati obliqui congruenti " con angoli di misura 72-72-36.
Ti lascio un immagine e il link diretto a Geogebra dove c'e' un disegno con i triangoli isosceli aggiuntivi che hanno angoli di
80.0254 gradi.

Con i 100 punti si possono ottenere 50 configurazioni diverse.

https://www.geogebra.org/calculator/m7tcxge2

[axpgn]

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L'avevo capito ma quello è più bello, è una fetta di decagono