Un triangolo nell'ellisse

[axpgn]

Mostrare come si inscrive un triangolo di area massima in un ellisse.


Cordialmente, Alex

[Quinzio]

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Rispondendo di getto, dopo una pensata di 2 minuti, mi viene da dire che si prende un cerchio con un triangolo equilatero inscritto, e poi si stira la figura fino a che i semiassi dell'ellisse che si ottiene non sono uguali a quelli dell'ellisse data dal problema.
Ovviamente si deve partire con un cerchio il cui raggio e' uguale a uno dei semiassi e poi si stira la figura fino a raggiungere come dimensioni l'altro semiasse.

[axpgn]

Giusto! Bravo!

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Però adesso devi dirci come si fa a disegnarlo, dato che lo "stiramento" non è previsto da riga e compasso

Cordialmente, Alex

[Quinzio]

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Però adesso devi dirci come si fa a disegnarlo, dato che lo "stiramento" non è previsto da riga e compasso

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Solamente con riga e compasso non si riesce a disegnare l'ellisse. Questi metodi sono un po' primitivi.
Un escamotage per riuscire comunque a vedere l'elisse e' disegnare il cerchio con il triangolo equilatero inscritto e poi inclinare il foglio (o ruotare lo schermo del PC) in modo che il cerchio diventi un ellisse con il triangolo inscritto.
Se siamo ai tempi di Euclide invece, bisognerà inclinare la tavoletta di argilla su cui si stava incidendo.
Poi c'e' un secondo metodo, senza inclinare il foglio, ma richiede l'uso di un pezzo di cordino.
Quindi la costruzione e' con riga, compasso e cordino.

Si traccia un cerchio e il triangolo equilatero inscritto.
Poi si traccia una retta r che passa per il centro.
Sulla retta si posizionano i due fuochi dell'ellisse.
Si legano i capi del cordino ai fuochi e si traccia l'ellisse.
La lunghezza del cordino deve essere tale che il semiasse minore sia pari al raggio del cerchio.
L'ellisse e il cerchio non devono incrociarsi.
Quindi si tracciano 3 segmenti paralleli alla retta r, ognuna che passa per un vertice del triangolo equilatero.
Il segmento deve terminare sull'ellisse. Se il segmento incrocia il cerchio non deve incrociare l'ellisse e viceversa.
Si forma un triangolo con i 3 punti individuati dai 3 segmenti sull'ellisse.
Il triangolo e' uno di quelli di area massima per l'ellisse.

[axpgn]

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Non ho capito bene il passaggio con i 3 segmenti ...

Io farei così ...

Disegno l'ellisse, disegno il cerchio inscritto (cioè quello che ha come diametro il semiasse minore), disegno il triangolo equilatero $ABC$ inscritto nel cerchio con il vertice $A$ che è il punto comune a cerchio ed ellisse (uno dei due punti comuni), traccio la retta su cui giace $BC$ e chiamo $D$ ed $E$ i punti in cui interseca l'ellisse.
Il triangolo $ADE$ è il (un) triangolo di area massima inscritto nell'ellisse.

Cordialmente, Alex

[Quinzio]

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Si certo, e' la stessa cosa, come lo disegni tu e' un caso particolare.
Se il triangolo eq. e' orientato a caso, basta tracciare delle parallele al semiasse maggiore che passano per i vertici del triangolo. Le intersezioni con l'eliisse generano il triangolo inscritto nell'ellisse.
Un disegno farebbe capire in un attimo, ma da qui non riesco ad allegare delle immagini.

[Quinzio]

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Il disegno