Triangolo, quadrati, esagono

[axpgn]

Dato un triangolo qualsiasi, disegnare un quadrato esternamente su ognuno dei lati.
Unendo i sei vertici dei quadrati che non sono condivisi con quelli del triangolo otteniamo un esagono.
Naturalmente tre lati dell'esagono sono uguali ai lati del triangolo.

Dimostrare che ciascuno degli altri è pari al doppio di una mediana del triangolo.



Cordialmente, Alex

[Quinzio]

..

[axpgn]

Perché equilatero? Un triangolo qualsiasi.

[Quinzio]

Chiedo venia. Ero partito in quarta pensando che fosse equilatero.

[Quinzio]

Allora...

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Sul triangolo ABC si costruiscono i quadrati su AB e BC.
Sia BD il lato del quadrato costruito su AB, che ha come estremo B e che non e' in comune col triangolo.
Sia BE il lato del quadrato costruito su BC, che ha come estremo B e che non e' in comune col triangolo.
Sia BDFE il parallelogramma costruito usando i lati BD e BE.
I triangoli BDF e BEF sono congruenti in quanto hanno due lati uguali e un angolo uguale.
Ad esempio l'angolo BDF e' uguale all'angolo ABC del triangolo.
(D'altra parte la somma degli angoli attorno a B e' 360 gradi, di cui 180 sono occupato dai due angoli dei quadrati. I restanti 180 gradi sono la somma dei 3 angoli del triangolo.)
Le diagonale DE del parallelogramma e' costituita da due mediane dei triangoli BDF e BEF.

[axpgn]

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I triangoli BDF e BEF sono congruenti in quanto hanno due lati uguali e un angolo uguale.

Io direi che sono congruenti perché hanno due lati congruenti (i lati corrispondenti ai quadrati) e uno in comune; l'angolo uguale quale sarebbe?

Ad esempio l'angolo BDF e' uguale all'angolo ABC del triangolo.

Perché?

Cordialmente, Alex

[Quinzio]

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I triangoli BDF e BEF sono congruenti in quanto hanno due lati uguali e un angolo uguale.

Io direi che sono congruenti perché hanno due lati congruenti (i lati corrispondenti ai quadrati) e uno in comune; l'angolo uguale quale sarebbe?

Ad esempio l'angolo BDF e' uguale all'angolo ABC del triangolo.

Perché?

Perche'
BDF + DFE + FEB + DBE = 360 (i 4 angoli del parallelogramma fanno 360 gradi)
in un parallelogramma gli angoli opposti sono uguali
quindi 2 BDF + 2 DBE = 360
BDF = 180 - DBE
DBE = 360 - 90 - 90 - ABC
da cui BDF = ABC

[axpgn]

Cordialmente, Alex

[Quinzio]

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Se qualcuno vuole giocare con Geogebra... (muovere il vertice C in alto del triangolo ABC, le due misure che si vedono sono la diagonale del parallelogramma e la mediana, una il doppio dell'altra)
https://www.geogebra.org/calculator/k2zybfru

(le lettere non sono le stesse che ho usato nella soluzione)