Algoritmo

[axpgn]

Un algoritmo è definito nel modo che segue:

Start: $\ \ \ \ \ \ \ (x_0,y_0), 0<x_0<y_0$

Step: $\ \ \ \ \ \ \ x_(n+1)=(x_n+y_n)/2,\ \ \ \ \ \ \ y_(n+1)=sqrt(x_(n+1)y_n)$


Determinare il comune limite $lim x_n=lim y_n=x=y$


Cordialmente, Alex

[gugo82]

Che vuol dire "determinare il limite comune"?
Non mi pare che esista una forma chiusa semplice per quella media lì...

Per caso vuol dire "mostrare che i due limiti esistono finiti e sono uguali"?

[ghira]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

È la definizione della media aritmetico-geometrica di $x_0$ e $y_0$, no?

[sellacollesella]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

È un esercizio tratto da Problem-Solving Strategies - Arthur Engel - Springer (1998).

L'autore introduce con una catena di disuguaglianze: \[
x_n < y_n
\quad \Rightarrow \quad
x_{n+1} < y_{n+1},
\quad \quad
y_{n+1} - x_{n+1} < \frac{y_n-x_n}{4}
\quad \forall\,n \in \mathbb{N}.
\] Poi parte in quinta scrivendo: \[
\frac{x_{n+1}}{y_{n+1}}
= \frac{x_{n+1}}{\sqrt{x_{n+1}\,y_n}}
= \sqrt{\frac{x_{n+1}}{y_n}}
= \sqrt{\frac{1+\frac{x_n}{y_n}}{2}} \tag{1}
\] e dato che \(0 < \frac{x_n}{y_n} < 1\) pone: \[
\frac{x_n}{y_n} \equiv \cos \alpha_n
\] che permette di scrivere \((1)\) come: \[
\cos\alpha_{n+1} = \cos\frac{\alpha_n}{2}
\quad \Rightarrow \quad
\alpha_n = \frac{\alpha_0}{2^n}
\quad \Rightarrow \quad
2^n\alpha_n = \alpha_0
\] da cui il primo invariante utile ai nostri scopi: \[
2^n\arccos\frac{x_n}{y_n} = \arccos\frac{x_0}{y_0}. \tag{2}
\] Quindi, l'autore rilancia scrivendo: \[
y_{n+1}^2 - x_{n+1}^2 = \frac{y_n^2-x_n^2}{4}
\quad \Rightarrow \quad
2\sqrt{y_{n+1}^2-x_{x+1}^2} = \sqrt{y_n^2-x_n^2}
\] da cui il secondo invariante utile ai nostri scopi: \[
2^n\sqrt{y_n^2-x_n^2} = \sqrt{y_0^2-x_0^2}. \tag{3}
\] Ora è fatta, in quanto da \((2)\) e \((3)\) è presto stabilito che: \[
\arccos\frac{x_0}{y_0} = 2^n\arccos\frac{x_n}{y_n} = 2^n\arcsin\frac{\sqrt{y_n^2-x_n^2}}{y_n} = 2^n\arcsin\frac{\sqrt{y_0^2-x_0^2}}{2^n\,y_n}
\] e passando al limite per \(n \to \infty\) si ottiene: \[
\arccos\frac{x_0}{y_0} = \frac{\sqrt{y_0^2-x_0^2}}{y_n}
\] da cui quanto richiesto: \[
\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} y_n = \frac{\sqrt{y_0^2-x_0^2}}{\arccos\frac{x_0}{y_0}}. \tag{4}
\] Ho riportato la soluzione perché mi sembrava interessante, spero di non aver scritto castronerie.

[axpgn]

Che vuol dire "determinare il limite comune"? ... Per caso vuol dire "mostrare che i due limiti esistono finiti e sono uguali"?

Sì.
Ho tradotto letteralmente: "Find the common limit $lim x_n = lim y_n = x = y$"
Dici che non va bene?

@sellacollesella
Anch'io l'ho trovato interessante, è per quello che ho postato il testo ma non la soluzione