Equazione

[axpgn]

Sia $(x,y)$ una soluzione, in interi, dell'equazione $x^2-2y^2= -1$.

Provare che $1^3+3^3+5^3+...+(2y-1)^3=x^2y^2$


Cordialmente, Alex

[giammaria]

Ho trovato una risposta molto banale; non la scrivo perché forse c'è di meglio e soprattutto per lasciare il campo libero a chi vuole cimentarsi. Coraggio, non è difficile!
Non saprei invece risolvere in interi l'equazione $x^2-2y^2= -1$. Limitandomi ai valori positivi (i segni non hanno importanza), ho trovato per tentativi le soluzioni $(1,1)$ e $(7,5)$ ma forse ce ne sono anche altre.

[ingres]

Credo che anche la mia sia piuttosto banale.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

La somma delle potenze cubiche dei numeri naturali dispari è data da
$sum_{i=1}^(y) (2i-1)^3 =y^2(2y^2-1)$

Infatti
$sum_{i=1}^(n) i^3 =(n(n+1)/2)^2$ Teorema di Nicomaco
$sum_{i=1}^(n) (2i)^3 =2^3*sum_{i=1}^(n) i^3 = 8(n(n+1)/2)^2=2(n(n+1))^2$ cubi numeri pari
$sum_{i=1}^(n) (2i-1)^3 =(2n(2n+1)/2)^2 - 2(n(n+1))^2 = n^2(2n^2 - 1)$ cubi numeri dispari

e quindi sfruttando l'equazione $2y^2-1=x^2$ si arriva subito al risultato.

[dan95]

@ingres

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Attento... La somma dei cubi nell'esercizio è sui dispari

[giammaria]

@ ingres
Io dimostravo anche la formula in questione, dato che è poco conosciuta.

@dan95
Probabilmente non hai notato che ingres parlava proprio di numeri dispari.

[dan95]

@ingres @giammaria

Sorry, mio errore

[ingres]

@ingres @giammaria

Sorry, mio errore

Do not worry!

[axpgn]

Beh, ma ha ragione dan95, scritta così è sbagliata
Peraltro avrei preferito una soluzione come suggerito da giammaria cioè costruita dalle "fondamenta" piuttosto che "prefabbricata"
Eviterei comunque di linkare siti esterni "fastidiosi"


Cordialmente, Alex

[ingres]

Beh, ma ha ragione dan95, scritta così è sbagliata

No, perchè n è scritto essere solo dispari.

Peraltro avrei preferito una soluzione come suggerito da giammaria cioè costruita dalle "fondamenta" piuttosto che "prefabbricata"
Eviterei comunque di linkare siti esterni "fastidiosi"

In effetti la formula l'avevo ricavata in altro modo, ma cercando per confermarla ho trovato il sito "fastidioso" ma comodo

Comunque era questo l'unico modo di risolvere o c'era qualche metodo meno banale?

[axpgn]

Avevo letto la tua precisazione ma che c'entra?
A mio parere, una formula "ben fatta" deve essere "autosufficiente" altrimenti va bene per tutto.
Per esempio, quella che hai scritto va bene per la somma dei cubi di qualsiasi cosa: dispari, pari, multipli di tre, numeri congrui a uno modulo sette, ecc.

Per quanto riguarda il link, "fastidioso" è un eufemismo, un sito pieno di spam con un pop-up a tutta pagina più il trucchetto per l'autoiscrizione ("vuoi continuare con l'account Google?" e ti ritrovi iscritto alla newsletter ).
Io li eviterei siti del genere, IMHO.

Di modi per risolvere i problemi ce ne sono sempre vari quindi non penso sia l'unico , quello "banale" si proponeva (si fa per dire) di "trovare" una formula per la somma dei cubi dei dispari (che non è famosissima)


Cordialmente, Alex