Equazione

[ingres]

OK Alex. Riscritta la formula e inserita la dimostrazione senza ricorrere al sito

Da notare che la formula di Faulhaber
https://it.wikipedia.org/wiki/Somma_di_ ... successivi
e un procedimento identico a quello seguito consente di trovare la somma delle potenze di interi successivi, pari successivi e dispari successivi per qualsivoglia potenza m.

[giammaria]

Io avevo dimostrato la formula in modo ancor più terra-terra.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Posto $S_y=1^3+3^3+5^3+...+(2y-1)^3$, l'esame dei primi valori di $S_y$ suggerisce che sia $S_y=y^2(2y^2-1)$ e lo dimostro facilmente per induzione completa.

Resta il mio dubbio su quante e quali siano le soluzioni di $x^2-2y^2=-1$.

[hydro]

@giammaria: si chiamano "equazioni di Pell", se googli troverai una marea di materiale in proposito, anche elementare. In particolare, esiste un teorema fondamentale della teoria dei numeri che implica che esistono $x_0,y_0\in \mathbb Z$ tali che tutte e sole le soluzioni di $x^2-2y^2=-1$ sono della forma $x=x_n$ e $y=y_n$, dove $(x_0+y_0\sqrt{2})^{2n+1}=x_n+y_n\sqrt{2}$, al variare di $n\in \mathbb Z$. Penso (ma non ho voglia di controllare), che si abbia $x_0=y_0=1$. Per esempio, $(1+\sqrt{2})^3=7+5\sqrt{2}$, e in effetti $7^2-2\cdot 5^2=-1$.

[giammaria]

@ hydro
Grazie mille. I numeri che indichi (per $n=0$ ed $n=1$) sono proprio quelli che avevo trovato per tentativi.