Una disuguaglianza

[3m0o]

Dati \(x_1,\ldots,x_n \in \mathbb{R} \) dimostrate che
\[ \left( \sum_{k=1}^{n} x_k^2 \right)^3 \geq \left( \sum_{k=1}^{n} x_k^3 \right)^2 \]

Hint: Data un area \( A \), la sfera di area \(A\) ha un volume \(V\) maggiore rispetto a qualunque altro corpo tridimensionale avente area \(A\).

[Quinzio]

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Scrivo piu' che altro un tentativo di soluzione anche se mi sembra corretta.
Di sicuro non e' la soluzione che si aspetta 3m0o.

Prima di tutto si puo' dire che
$$\left(\sum |x_k|^3\right)^2 \ge \left(\sum x_k^3\right)^2$$
perche' a destra possono comparire dei doppi prodotti negativi.
Ad es. con $n = 2$
$(x_1^3+x_2^3)^2 = x_1^6+x_2^6 + 2x_1^3x_2^3$
il doppio prodotto potrebbe essere negativo siccome compaiono i cubi.
Per questo motivo da qui in poi assumo che $\forall k, x_k >0 $, siccome la dimostrazione vale anche se una o piu' variabili fossero minori di zero.
Quindi assumo anche che $\forall k, x_k \ge1 $, siccome e' sufficiente dividere la disuguaglianza per $(min{x_k})^6$ per avere le variabili maggiori o uguali 1, senza alterare la disuguaglianza.

Riprendo la disuguaglianza:
$$\left(\sum x_k^2\right)^3 \ge \left(\sum x_k^3\right)^2$$
che riscrivo come:
$$\left(\sum x_k^2\right)^3 - \left(\sum x_k^3\right)^2 \ge 0$$
e faccio la derivata:
$$3\left(\sum x_k^2\right)^2 2\left(\sum x_k\right) - 2\left(\sum x_k^3\right)3\left(\sum x_k^2\right) \ge 0$$
semplifico le costanti:
$$\left(\sum x_k^2\right)^2 \left(\sum x_k\right) - \left(\sum x_k^3\right)\left(\sum x_k^2\right) \ge 0$$
semplifico la sommatoria coi termini al quadrato:
$$\left(\sum x_k^2\right) \left(\sum x_k\right) - \left(\sum x_k^3\right) \ge 0$$
La parte a sinistra si puo' riscrivere come:
$$\left(\sum x_k^3\right) + \left(\sum_{i \ne j} (x_i^2 x_j + x_ix_j^2) \right) - \left(\sum x_k^3\right) \ge 0$$
che si semplifica in
$$ \left(\sum_{i \ne j} (x_i^2 x_j + x_ix_j^2) \right) \ge 0$$

Siccome $\forall k, x_k \ge 0 $, la dimostrazione sarebbe conclusa.
avendo mostrato che la derivata e' sempre positiva, la disuguaglianza e' sempre verificata.

La parte piu' problematica e' la derivata. Derivata rispetto a cosa ?
L'idea e' quella di considerare il vettore delle variabili (si pensi al classico vettore nello spazio $\RR^3$) e di derivare nella stessa direzione del vettore, allungando il vettore stesso.

[3m0o]

Mmmh...

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Non dico che sia sbagliata, solo non capisco un paio di cose.

Come fai le derivate?
Non so se è permesso fare così le derivate direzionali, perché le derivate direzionali sono definite per un vettore $v=(v_1,\ldots, v_n)$, qui stai considerando una funzione
\[ f(x_1,\ldots,x_n) = \left( \sum_{k=1}^{n} x_k^2 \right)^3 - \left( \sum_{k=1}^{n} x_k^3 \right)^2 \]
e in questo caso il vettore \( x = (x_1,\ldots,x_n)\) è una variabile, non un vettore fissato lungo la quale fare una derivata direzionale.

Io ho capito che:
Fissi \( (x_1,\ldots,x_n) =(v_1,\ldots,v_n) \) come un punto e in ogni punto cambi la direzione, cioè consideri in ogni punto la derivata direzionale lungo la direzione \( (v_1,\ldots,v_n) \). Quindi in ogni punto consideri una direzione differente. Ma in questo modo non mi è chiaro come concludi, i.e. il motivo per cui derivata direzionale maggiore di zero implica che la funzione \(f(x_1,\ldots,x_n) \) sia maggiore di zero, già perché di funzioni derivata direzionale positiva ma negative ne esistono, ad esempio

\[ x \mapsto -e^{-x} \]

è una funzione che possiede derivata positiva, ma la funzione è negativa.

Detto ciò e indipendentemente da ciò, se prendi le derivate direzionali così, non mi è nemmeno chiaro se la funzione è necessariamente crescente, lungo quale direzione? Non stai fissando una direzione, la stai cambiando sempre.

Ps: e comunque no, non è ovviamente la risposta che mi aspettavo, a parte l'inizio in cui si può assumere tranquillamente $x_k \geq 0$ per ogni $k$.

Comunque, anche se avere l'idea è difficile, è più semplice di quanto si pensi! Se qualcuno vuole un hint supplementare:

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Sia $D \subseteq \mathbb{R}^3 $ un corpo di area $A(D) = A $ fissata e di volume $V(D)=V$, allora abbiamo che la sfera di area $A$ possiede un volume $ \frac{4 \pi}{3} \left( \frac{A}{4 \pi} \right)^{3/2} $ e massimizza il volume racchiuso tra tutti i corpi di area $A$, i.e. l'hint precedente si può scrivere
\[ \frac{V}{ \frac{4 \pi}{3} \left( \frac{A}{4 \pi} \right)^{3/2} } \leq 1 \]
e abbiamo uguaglianza se e solo se $V =\frac{4 \pi}{3} \left( \frac{A}{4 \pi} \right)^{3/2}$