Sistema

[axpgn]

Risolvere nei reali il seguente sistema:

${((3x-y)/(x-3y)=x^2),((3y-z)/(y-3z)=y^2),((3z-x)/(z-3x)=z^2):}$


Cordialmente, Alex

[mgrau]

Mi sembra che non ci sia soluzione. Ma non sono tanto convinto...
Il sistema resta inalterato se x, y, z sono permutate circolarmente. Quindi ne dedurrei che anche le sue soluzioni non cambiano se vengono permutate circolarmente, e allora devono essere uguali fra loro. Ma allora la prima equazione diventa $(3x - x)/(x - 3x) = x^2$, ossia $x^2 = -1$

[axpgn]

Mi sembra che non ci sia soluzione.

C'è, c'è

... e allora devono essere uguali fra loro.

[axpgn]

Hint:

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Trig

[hydro]

Mi sembra che non ci sia soluzione. Ma non sono tanto convinto...
Il sistema resta inalterato se x, y, z sono permutate circolarmente. Quindi ne dedurrei che anche le sue soluzioni non cambiano se vengono permutate circolarmente, e allora devono essere uguali fra loro. Ma allora la prima equazione diventa $(3x - x)/(x - 3x) = x^2$, ossia $x^2 = -1$

Il fatto che il sistema rimanga inalterato sotto certe permutazioni indica solamente che se $(x_0,y_0,z_0)$ è una soluzione allora anche le sue permutate lo sono, ma non dice che $x_0=y_0=z_0$, neanche se l'invarianza è sotto tutto il gruppo simmetrico. Per esempio prendi il sistema $x^2+y^2=1$, $xy=0$. Anche questo è invariato se scambi $x$ e $y$ ma le soluzioni non hanno entrambe le coordinate uguali.

[axpgn]

Possiamo riscrivere il sistema così:

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$ {((3x-x^3)/(1-3x^2)=y),((3y-y^3)/(1-3y^2)=z),((3z-z^3)/(1-3z^2)=x):} $

E poi con un'opportuna sostituzione trigonometrica ...

[ingres]

Per esempio sfruttando questa ?

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$tan (3 alpha) = (3tan alpha - tan^3alpha)/(1-3tan^2alpha)$

[axpgn]

Yes

[ingres]

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Poniamo $x=tan(alpha)$, $y=tan(beta)$, $z=tan(gamma)$. Facendo uso delle formule di triplicazione si ottiene

$tan(3*alpha) = tan(beta)$
$tan(3*beta) =tan(gamma)$
$tan(3*gamma)=tan(alpha)$

$3alpha = beta +k*pi$
$3beta= gamma + h*pi$
$3gamma= alpha + m*pi$

Risolvendo si ha
$alpha = (9k+3h+m)/26*pi$
$beta= (k+9h+3m)/26*pi$
$gamma= (3k+h+9m)/26*pi$

Da cui si ricavano x, y, z che non sono infiniti per la periodicità della tangente e inoltre bisogna escludere alcune soluzioni (es. per k=h=m=1)

Esempio (k=1, h=m=0)
$alpha=1,08747438008877$
$beta=0,120830486676531$
$gamma=0,362491460029592$
$x=1,90534081130307$
$y=0,121421983222261$
$z=0,379249975405873$

Si può verificare che è soluzione sostituendo nel sistema originario.

[axpgn]

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Soluzione "ufficiale":

Esiste un solo numero $w$ nell'intervallo $(-pi/2,pi/2)$ tale che sia $x=tan(w)$

Quindi $ {(y=(3tan(w)-(tan(w))^3)/(1-3(tan(w))^2)=tan(3w)),(z=(3tan(3w)-(tan(3w))^3)/(1-3(tan(3w))^2)=tan(9w)),(x=(3tan(9w)-(tan(9w))^3)/(1-3(tan(9w))^2)=tan(27w)):} $

Dall'ultima uguaglianza si ottiene che $tan(w)=tan(27w)$ per cui $w$ e $27w$ differiscono per un multiplo intero di $pi$.
Ne consegue che $w=(kpi)/26$ per qualche intero $k$ che soddisfi $-pi/2<(kpi)/26<pi/2$

Escludendo $k=0$ (perché darebbe $x=0$ che non è possibile), otteniamo per $k$ i valori $+-1, +-2, ..., +-12$, ciascuno dei quali genera le triple $x=tan((kpi)/26), y=tan((3kpi)/26), z=tan((9kpi)/26)$

Si può verificare velocemente che queste sono le soluzioni del sistema iniziale.