Luogo dei punti

[axpgn]

Il punto $A$ e il segmento $BC$ sono dati.

Determinare il luogo dei punti nello spazio i quali siano i vertici degli angoli retti per cui un lato passi per $A$ e l'altro lato intersechi $BC$.


Cordialmente, Alex

[Quinzio]

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Beh, dovrebbe essere cosi:
dato il cerchio (inteso come area) con diametro AB e il cerchio con diametro AC, il luogo dei punti e' l'unione delle due aree meno l'intersezione delle due aree.
PS. I 3 punti A,B,C devono essere distinti.

[axpgn]

È un problema olimpico e non viene richiesto che i punti siano distinti, inoltre i punti sono nello spazio non solo su una superficie.

Detto questo, sostanzialmente sì


Però una dimostrazione sarebbe gradita


Cordialmente, Alex

[Quinzio]

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I cerchi diventano sfere, le aree diventano volumi.

Onestamente la dimostrazione e' la parte piu' difficile.
I bordi sono facili da giustificare (e' il solito teorema che un triangolo che ha per lato un diametro e il vertice opposto sulla circonferenza e' rettangolo).
I punti interni non so bene come giustificarli.

[axpgn]

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Se $A$ appartiene al segmento $BC$ la dimostrazione è relativamente semplice.
Limitandoci per comodità ai semicerchi, i punti sulle semicirconferenze $AB$ e $AC$ appartengono al luogo cercato, per il noto teorema che hai detto.
Ogni punto interno appartiene al cateto uscente da $A$ ed è immediato tracciare l'altro cateto che interseca $BC$ perché è parallelo a quello che parte dalla semicirconferenza ed è interno al semicerchio.



In modo più o meno analogo si risolve il caso in cui $A$ appartenga al prolungamento di $BC$



Infine, se $A$ è esterno a $BC$, la cosa è più complicata ma la strada è grossomodo la stessa

Cordialmente, Alex