da megas_archon » 27/06/2023, 22:22
Praticamente stai chiedendo questo: dati due numeri interi \((a,b)\) esiste un $r_{a,b}>0$ tale che l'equazione \((X-\sqrt 2)^2 + (Y-\sqrt 3)^2 = r_{a,b}\) ha esattamente una soluzione in \((a,b)\), ma mai due o più. Uhm, non è che basta sostituire e scegliere \(r = (a-\sqrt 2)^2 + (b-\sqrt 3)^2\)? Certamente questo è un r che va bene, e non è mai 0 perché $a,b$ sono interi (quindi è sempre positivo stretto). A questo punto dovrebbe essere una mera questione di "risolvere un'equazione" quella di trovare che se
\[(a-\sqrt 2)^2 + (b-\sqrt 3)^2 = (a'-\sqrt 2)^2 + (b'-\sqrt 3)^2\] allora \(a=a'\) e \(b=b'\). No?
Quasi certamente è vera una cosa più generale: data una coppia di vettori linearmente indipendenti $v,w$ di \(\mathbb Q^2\), il reticolo discreto \(\Gamma_{v,w}\) generato dai due si definisce come il gruppo abeliano generato dall'insieme \(\{u,v\}\), ossia l'insieme delle combinazioni lineari a coefficienti interi \(\{pv+qw\mid p,q\in\mathbb Z\}\). Adesso, pensando questo reticolo discreto come un sottoinsieme di \(\mathbb R^2\), e scegliendo due numeri irrazionali \(x,y\notin\mathbb Q\), dovrebbe potersi dimostrare che dato un generico punto del reticolo la circonferenza di centro $(x,y)$ contiene, per una opportuna scelta del raggio, esattamente il punto del reticolo scelto, e nessun altro.
Un problema simile, per raggi interi, si risolve con gli interi di Gauss, ma lì le soluzioni sono altamente non uniche.